如何简便计算\([(\sqrt{a}+\sqrt{b})^n]\)的值？

manthanein

其中a、b、n为正整数，[]为向下取整符号。

.·.·.

就这么算啊
没有简便方法

如果真的计算机实现，可能可以试试SSE指令同时对a跟b开根

zeroieme

符号化，形式为 \(\left(t_0+t_1\sqrt{a}+t_2\sqrt{b}+t_3 \sqrt{a b}\right){}^q\) ；接着是二分幂算法。

mathe

展开后可写成$x\sqrt{a}+y\sqrt{b}+z\sqrt{ab}+w$形式。如果a,b事先知道，可以先算出\sqrt{a}等高精度形式

mathe

另外如果n是偶数而且$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\lt1$,那么结果加上这个差值的n次方是整数，可以通过高精度浮点运算解决

wayne

若论快速计算的一般方法，就是二分幂. 这里给一个纯粹高精度整数运算的方法。
不失一般性，设 $s,t$互质，$x =a_1 \sqrt{s}+a_2 \sqrt{t}+a_3 \sqrt{st}+a_4$,则对于原题，设向量的分量分别代表${a_1,a_2,a_3,a_4} $,于是$ x_0 ={1,1,0,0} $
然后再看乘法规则，$x_a$与$x_b$相乘就是：$x_a={a_1,a_2,a_3,a_4},x_b={b_1,b_2,b_3,b_4} , x_a*x_b = {a_3 b_2 t+a_2 b_3 t+a_4 b_1+a_1 b_4,a_3 b_1 s+a_1 b_3 s+a_4 b_2+a_2 b_4,a_2 b_1+a_1 b_2+a_4 b_3+a_3 b_4,a_3 b_3 s t+a_1 b_1 s+a_2 b_2 t+a_4 b_4} $

特例：$x ={a_1,a_2,a_3,a_4} $对应$ x^2= {2 a_2 a_3 t+2 a_1 a_4,2 a_1 a_3 s+2 a_2 a_4,2 a_1 a_2+2 a_3 a_4,a_3^2 s t+a_1^2 s+a_2^2 t+a_4^2} $