What is the pink area

markfang2050

如图所示，边长为1的正方形ABCD，有一条曲线f(x)=x^2经过正方形的A,C点，右侧部分粉红色区域；
左侧空白区域的存在一个小正方形，曲线f(x)=x^2经过小正方形的A1,C1点，右侧部分也有粉红色区域；
如此下去直到D点；求红色区域面积之和=？

mathe

等比级数，公比为黄金分割的平方，首项1/3

chyanog

令$a=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n, x_0=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n$，
则抛物线方程通项 $y=a x^2+1-x_0$，曲边三角形直角顶点坐标 \(\left ( x_0,\;1-x_0 \right )\)，
面积之和 $\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{3} a x_0^3=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{3} \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n=\frac{\sqrt{5}+1}{6}$。