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[求助] 请证明X点始终在一个圆上运动

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发表于 2020-1-2 19:53:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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三角形ABC周长不变移动C点。从C点向∠ABC的外角的平分线做一条垂直线,垂点为X。请证明X点始终在一个圆上运动。

补充内容 (2020-1-3 03:33):
请证明X点始终在一个闭合曲线上运动

补充内容 (2020-1-3 03:56):
There is a triangle ABC. With X we denote the base point of the plumb line from B to the bisector at C. The point C is now moved so that the circumference of the triangle ABC remains constant.

补充内容 (2020-1-3 03:56):
Prove that point X is moving on a circle.

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-2 20:43:07 | 显示全部楼层
X的轨迹应该是椭圆的一部分吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-2 20:50:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 Arc41817 于 2020-1-2 20:51 编辑
chyanog 发表于 2020-1-2 20:43
X的轨迹应该是椭圆的一部分吧


C点的运动轨迹应该是个椭圆,题上写的是求证X在一个圆上运动
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发表于 2020-1-3 00:32:36 | 显示全部楼层
轨迹不是圆吧
1.jpg
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 楼主| 发表于 2020-1-3 03:31:39 | 显示全部楼层
多谢各位,题目是翻译过来的,又仔细看了一下原文,X点的运动轨迹的确不一定是个圆,也可能是椭圆。我们论坛真强,马上就发现了。不过那位能帮我具体写一下怎么证明呀。或者我的题都太简单了,我会不会发错版块啦(这是国外初中数学竞赛题),错了的话请多指教。
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发表于 2020-1-3 11:27:18 | 显示全部楼层
如lsr314的图,容易看出X的纵坐标是D的纵坐标的一半,另外X到A的横坐标距离之差乘上X到D的横坐标距离之差是这个纵坐标的平方。由此可以得出X的代数方程,但是是一个四次曲线。好像的确可以因子分解成两个椭圆的乘积
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发表于 2020-1-3 11:46:44 | 显示全部楼层
经平移后(把A移动到原点)轨迹方程为
$ ((a+c)X^2+(a-c)Y^2-b^2X)((a-c)X^2+(a+c)Y^2+b^2X)=0$
有点弄不清楚后面那个椭圆代表什么?
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发表于 2020-1-3 13:38:23 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-1-3 11:46
经平移后(把A移动到原点)轨迹方程为
$ ((a+c)X^2+(a-c)Y^2-b^2X)((a-c)X^2+(a+c)Y^2+b^2X)=0$
有点弄不 ...

应该是一个代表内角平分线,一个代表外角平分线,H1和H2的纵坐标是相等的

2.jpg
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发表于 2020-1-3 13:43:53 | 显示全部楼层
elliptic.png
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发表于 2020-1-3 13:58:53 | 显示全部楼层
如果把两个焦点改成原点和短轴顶点,图象如下,此时两个动点的横坐标相等。

3.jpg

点评

这里是两个内角平分线,不是一个角的内角和外角平分线  发表于 2020-1-3 14:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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