请证明X点始终在一个圆上运动

Arc41817

三角形ABC周长不变移动C点。从C点向∠ABC的外角的平分线做一条垂直线，垂点为X。请证明X点始终在一个圆上运动。

补充内容 (2020-1-3 03:33):
请证明X点始终在一个闭合曲线上运动

补充内容 (2020-1-3 03:56):
There is a triangle ABC. With X we denote the base point of the plumb line from B to the bisector at C. The point C is now moved so that the circumference of the triangle ABC remains constant.

补充内容 (2020-1-3 03:56):
Prove that point X is moving on a circle.

chyanog

X的轨迹应该是椭圆的一部分吧

Arc41817

chyanog 发表于 2020-1-2 20:43
X的轨迹应该是椭圆的一部分吧

C点的运动轨迹应该是个椭圆，题上写的是求证X在一个圆上运动

lsr314

轨迹不是圆吧

Arc41817

多谢各位，题目是翻译过来的，又仔细看了一下原文，X点的运动轨迹的确不一定是个圆，也可能是椭圆。我们论坛真强，马上就发现了。不过那位能帮我具体写一下怎么证明呀。或者我的题都太简单了，我会不会发错版块啦（这是国外初中数学竞赛题），错了的话请多指教。

mathe

如lsr314的图，容易看出X的纵坐标是D的纵坐标的一半，另外X到A的横坐标距离之差乘上X到D的横坐标距离之差是这个纵坐标的平方。由此可以得出X的代数方程，但是是一个四次曲线。好像的确可以因子分解成两个椭圆的乘积

mathe

经平移后（把A移动到原点）轨迹方程为
$ ((a+c)X^2+(a-c)Y^2-b^2X)((a-c)X^2+(a+c)Y^2+b^2X)=0$
有点弄不清楚后面那个椭圆代表什么？

lsr314

mathe 发表于 2020-1-3 11:46
经平移后（把A移动到原点）轨迹方程为
$ ((a+c)X^2+(a-c)Y^2-b^2X)((a-c)X^2+(a+c)Y^2+b^2X)=0$
有点弄不 ...

应该是一个代表内角平分线，一个代表外角平分线，H1和H2的纵坐标是相等的

mathe

lsr314

如果把两个焦点改成原点和短轴顶点，图象如下，此时两个动点的横坐标相等。