几个奇数的平方和是19×19

Arc41817

`x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=19^2`, 其中`x_i`皆奇数，`n>1`, 求 `n` 的范围。

英文原题：Julia adds up several odd square numbers, which are not necessarily different, as a result she gets another square number, namely 19x19. Determine all possibilities for the number of summands  that Julia's sum can have.

hujunhua

由`x_i^2≡1\pmod8` → `x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 ≡n\pmod{8}`.
而 `19^2≡1\pmod8`, 所以`n≡1\pmod8`.
即`n=8k+1, 1≤k≤45`，k能否取到此范围内的全部整数需要验证。

`19^2=361×1^2=352×1^2+3^2=343×1^2+2×3^2=…=1^2+40×3^2`

        `=1^2 +31×3^2+9^2=1^2+22×3^2+2×9^2=…=1^2+4×3^2+4×9^2`

可见k可取遍1～45。（从`361×1^2`开始，每9个`1^2`换1个`3^2`，每9个`3^2`换l个`9^2`，每次缩换都使`n`递减8( 即`k`递减1).

`19^2`当然还可以写成别的奇数的平方和，但题目并不要求我们列出所有可能的堆垒。

Arc41817

hujunhua 发表于 2020-1-3 00:15
n=8k+1, 1≤k≤45，k能否在此范围全部取到需要验证。

多谢把题目改写了，但是不完全是我想问的。可能是我中文表达不太清楚，这里是原题。
Julia adds up several odd square numbers, which are not necessarily different, as a result she gets another square number, namely 19x19. Determine all possibilities for the number of summands that Julia's sum can have.

mathe

由于1的存在，可以预计，对于所有的$n \equiv 1(\mod 8), 1\le n\le 343$, 解都应该存在的，我们的任务只是需要各自找到一个解，还是比较容易的。
还可以选择$x_1=17$,由于$19^2-17^2=72=8*9$,余下8个数取3即可。
然后我们每将一个$3^2$替换成9个$1^2$就可以增加8个数字，这样就可以分别取到
9,17,...,73个数的情况。