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[求助] 几个奇数的平方和是19×19

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发表于 2020-1-2 21:08:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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`x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=19^2`, 其中`x_i`皆奇数,`n>1`, 求 `n` 的范围。

英文原题:Julia adds up several odd square numbers, which are not necessarily different, as a result she gets another square number, namely 19x19. Determine all possibilities for the number of summands  that Julia's sum can have.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-3 00:15:39 | 显示全部楼层
由`x_i^2≡1\pmod8` → `x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 ≡n\pmod{8}`.
而 `19^2≡1\pmod8`, 所以`n≡1\pmod8`.
即`n=8k+1, 1≤k≤45`,k能否取到此范围内的全部整数需要验证。

`19^2=361×1^2=352×1^2+3^2=343×1^2+2×3^2=…=1^2+40×3^2`

        `=1^2 +31×3^2+9^2=1^2+22×3^2+2×9^2=…=1^2+4×3^2+4×9^2`

可见k可取遍1~45。(从`361×1^2`开始,每9个`1^2`换1个`3^2`,每9个`3^2`换l个`9^2`,每次缩换都使`n`递减8( 即`k`递减1).

`19^2`当然还可以写成别的奇数的平方和,但题目并不要求我们列出所有可能的堆垒。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-3 03:38:11 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-1-3 00:15
n=8k+1, 1≤k≤45,k能否在此范围全部取到需要验证。


多谢把题目改写了,但是不完全是我想问的。可能是我中文表达不太清楚,这里是原题。
Julia adds up several odd square numbers, which are not necessarily different, as a result she gets another square number, namely 19x19. Determine all possibilities for the number of summands that Julia's sum can have.

点评

你的中文表达得很正确,编辑后的数学表达也完全符合呀。  发表于 2020-1-3 05:14
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-1-3 08:19:16 | 显示全部楼层
由于1的存在,可以预计,对于所有的$n \equiv 1(\mod 8), 1\le n\le 343$, 解都应该存在的,我们的任务只是需要各自找到一个解,还是比较容易的。
还可以选择$x_1=17$,由于$19^2-17^2=72=8*9$,余下8个数取3即可。
然后我们每将一个$3^2$替换成9个$1^2$就可以增加8个数字,这样就可以分别取到
9,17,...,73个数的情况。
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