x^4+y^4=p

wsc810 · 发表于 2020-1-8 21:15:35

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我们知道，若素数 p=x^2+y^2,则与 p=1 (mod 4) 互为充要条件

哪些素数可以表示为p=x^4+y^4以及p=x^8+y^8,更一般的，哪些素数可以表示为 $ p=x^{2^n}+y^{2^n}$

mathe · 发表于 2020-1-9 06:45:54

由于p|1+(y/x)^{2^n}, 我们得出2^{n+1}|p-1

wsc810 · 发表于 2020-1-11 18:46:58

本帖最后由 wsc810 于 2020-1-11 20:13 编辑

$x^4+y^4=p$

有以下同余式成立

$x^4=-y^4  (mod  p)$

$(x/y)^4=-1 (mod p)$

$(x/y)^2=\pm\sqrt{-1}=\pm i (mod p)$

$(x/y)=\pm\sqrt{i}  (mod  p)$

举个例子看看

$x^4+y^4=4177$

$\sqrt{-1}=457=i  (mod  4177)$

$GCD[457+i,4177]=9+64i$

$3^4+8^4=4177$

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