四次方程的重根判定式问题

dingjifen

一、方程形式：
      (X+k)⁴+a(X+k)²+b(X+k)+c=0

二、重根判别式：
     Ａ＝a²+12c,
     Ｂ＝9b²+2a(a²-4c),
     Ｃ＝6ab²+(a²-4c)²,
      Δ=B²－4ＡＣ.

三、重根判定：
1、a=b=c=0：一个四重根；
2、Ｂ=Ａ=0且a≠0：一个三重根；
3、Ｂ=Ｃ=0且Ａ≠0：两个二重根；
4、Δ=0且Ｂ≠0：一个二重根；
5、Δ≠0：无重根。

dingjifen

在网上遇到四次方程的重根判定式，既无法肯定，又无法否定，特求助本论坛。

manthanein

其实看重根很简单，如果有个重根，那么f(x)一定有形如(x-k）^2的因式，取导数后可知f'(x)还有因式x-k，那么f(x)除以f'(x)的余式依旧有因式x-k。
印象中方程判别式可以用一个行列式给出，适用于任意次方程。

dingjifen

manthanein 发表于 2020-1-11 22:07
其实看重根很简单，如果有个重根，那么f(x)一定有形如(x-k）^2的因式，取导数后可知f'(x)还有因式x-k，那么 ...

有以下三个问题：
（1）判别式Δ是怎么来的？这个问题好解决。
（2）判别式A、B、C是怎么来的？这个问题不好解决。
（3）重根判定的五种情况中的“2、3、4”，这个问题也不好解决。

hujunhua

n 次方程的重根判别式是由 `\D\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2`与韦达公式联立消元而得。

dingjifen

hujunhua 发表于 2020-1-12 19:32
n 次方程的重根判别式是由 `\D\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2`与韦达公式联立消元而得。

1、此“韦达法”太复杂，还不如“导数法”来得简单。
2、此“韦达法”无法得出判别式A、B、C。

mathe

http://mathworld.wolfram.com/SturmFunction.html

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-13 10:53
http://mathworld.wolfram.com/SturmFunction.html

此链接介绍的是——斯特姆定理。斯特姆定理是求具体实系代数方程有几个实根的主要方法，对复系代数方程的重根判定无能为力。

葡萄糖

\[ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\]

\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
b^3+8a^2d&=4abc\\
(3 b^2 - 8 a c)^2&=16 a^2 (c^2 - 3 b d + 12 a e)
\end{split}
\right.
\end{align*}

\begin{align*}
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{3 b^2-8 a c}}{4 a}
\end{align*}

一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
《方程式论》（W. S. 伯恩赛德班登 著）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/71178884