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[求助] 四次方程的重根判定式问题

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发表于 2020-1-11 13:23:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一、方程形式:
      (X+k)4+a(X+k)2+b(X+k)+c=0

二、重根判别式:
     A=a2+12c,
     B=9b2+2a(a2-4c),
     C=6ab2+(a2-4c)2,
      Δ=B2-4AC.

三、重根判定:
1、a=b=c=0:一个四重根;
2、B=A=0且a≠0:一个三重根;
3、B=C=0且A≠0:两个二重根;
4、Δ=0且B≠0:一个二重根;
5、Δ≠0:无重根。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-11 13:27:11 | 显示全部楼层
在网上遇到四次方程的重根判定式,既无法肯定,又无法否定,特求助本论坛。

点评

求助本论坛的数学大师指点一二!  发表于 2020-1-11 15:41
意义是说,问这个四次方程的重根判定式是怎么来的?  发表于 2020-1-11 15:37
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发表于 2020-1-11 22:07:51 | 显示全部楼层
其实看重根很简单,如果有个重根,那么f(x)一定有形如(x-k)^2的因式,取导数后可知f'(x)还有因式x-k,那么f(x)除以f'(x)的余式依旧有因式x-k。
印象中方程判别式可以用一个行列式给出,适用于任意次方程。
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 楼主| 发表于 2020-1-12 11:39:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 dingjifen 于 2020-1-12 11:49 编辑
manthanein 发表于 2020-1-11 22:07
其实看重根很简单,如果有个重根,那么f(x)一定有形如(x-k)^2的因式,取导数后可知f'(x)还有因式x-k,那么 ...


有以下三个问题:
(1)判别式Δ是怎么来的?这个问题好解决。
(2)判别式A、B、C是怎么来的?这个问题不好解决。
(3)重根判定的五种情况中的“2、3、4”,这个问题也不好解决。

点评

欢迎本论坛的数学大师们解答疑惑!  发表于 2020-1-12 11:42
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发表于 2020-1-12 19:32:43 | 显示全部楼层
n 次方程的重根判别式是由 `\D\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2`与韦达公式联立消元而得。

点评

欢迎胡教授指点迷津!  发表于 7 天前
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 楼主| 发表于 7 天前 来自手机 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-1-12 19:32
n 次方程的重根判别式是由 `\D\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2`与韦达公式联立消元而得。

1、此“韦达法”太复杂,还不如“导数法”来得简单。
2、此“韦达法”无法得出判别式A、B、C。
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发表于 7 天前 | 显示全部楼层

点评

马教授,O(∩_∩)O哈哈哈~  发表于 7 天前
欢迎马教授一路指引!  发表于 7 天前
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-1-13 10:53
http://mathworld.wolfram.com/SturmFunction.html

此链接介绍的是——斯特姆定理。斯特姆定理是求具体实系代数方程有几个实根的主要方法,对复系代数方程的重根判定无能为力。
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