四边形向外或向内作正方形对边的中心连线垂直相等

dlsh

四边形向内或向外作正方形

四边形向外或向内作正方形对边的中心连线垂直相等，证明\(O_{1}O_{3}垂直且等于O_{2}O_{4}\)

aimisiyou

以B点为原点，BC为X轴建立复平面坐标系，令B=0，C=c,A=a+bi,D=x+yi.则可算出O1、O2、O3、O4。带入验证即可。
O2=c*（cos45+isin45）*cos45=(c+ci)/2
O1=cos45*(a+bi)/(cos45+isin45)=(a+b+(b-a)i)/2

dlsh

谢谢两位答复！现在用向量商解决。
  先考虑向外作正方形的情形，假设\(\frac{\vec{O_{1}B}}{\vec{O_{1}A}}=i\)，可以求得\(o_{1}=\frac{a-bi}{1-i}\),依次l可以求出：
\(o_{2}=\frac{b-ci}{1-i}，o_{3}=\frac{c-di}{1-i}，o_{4}=\frac{d-ai}{1-i}\),所以
\(\vec {O_{1}O_{3}}=o_{3}-o_{1}=\frac{c-a+(b-d)i}{1-i}=\frac{\vec{CA}+\vec{DB}i}{1-i}\)，\(\vec{O_{2}O_{4}}=o_{4}-o_{2}=\frac{d-b+(c-a)i}{1-i}\)
因为\(\vec {O_{1}O_{3}}i=\vec{O_{2}O_{4}}\),结论显然成立。上面\(\vec {O_{1}O_{3}}\)的表达式的几何意义是\(\vec{DB}\)旋转九十度再反向延长相等长度，与\(\vec{CA}\)平移至B点的向量按照平行四边形法则获得的向量BL与\(\vec {O_{1}O_{3}}\)的角度是四十五度，并且长度是其\(\sqrt{2}\)倍，如图所示。

向量商

dlsh

凹四边形

对顶三角四边形

以上两图说明主题的描述不准确?向内和外如何区别？

dlsh

math_humanbeing 发表于 2020-1-29 16:50
截图

补充内容 (2020-1-30 15:03):

这是帮你画的图，但是不知道如何证明。

mathe

这是典型的利用复平面来做的习题, A,B,C,D分别对应复数a,b,c,d.
$w=\frac{\sqrt{2}}2e^{\frac{i\pi}2}= \frac 1 2 +\frac i 2, 1-w=\bar{w}$, 于是$w=i(1-w), 1-w=-i w$
于是$O_1=b+w(a-b), O_2=\bar{w}c=c+w(b-c)$
$O_3=d+w(c-d), O_4=a+w(d-a)$
所以$O_1O_3=d+w(c-d)-b-w(a-b)=d-b+w(c+b-d-a)=(1-w)(d-b)+w(c-a)$
$O_2O_4=a+w(d-a)-c-w(b-c)=a-c+w(-a-b+c+d)=(1-w)(a-c)+w(d-b)=-i w(a-c)+i(1-w)(d-b)=i O_1O_3$
由此可以得出$O_1O_3$垂直$O_2O_4$而且两者长度相等。