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[原创] 四边形向外或向内作正方形对边的中心连线垂直相等

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发表于 2020-1-26 22:34:24 | 显示全部楼层 |阅读模式

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四边形向内或向外作正方形

四边形向内或向外作正方形

四边形向外或向内作正方形对边的中心连线垂直相等,证明\(O_{1}O_{3}垂直且等于O_{2}O_{4}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-27 20:36:27 | 显示全部楼层
以B点为原点,BC为X轴建立复平面坐标系,令B=0,C=c,A=a+bi,D=x+yi.则可算出O1、O2、O3、O4。带入验证即可。
O2=c*(cos45+isin45)*cos45=(c+ci)/2
O1=cos45*(a+bi)/(cos45+isin45)=(a+b+(b-a)i)/2
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发表于 2020-1-29 16:50:22 来自手机 | 显示全部楼层
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补充内容 (2020-1-30 15:03):
各位会员,我电脑不太会用,能不能把我的图画得好一点,补充上证明,我不会排版,我不会用扫描仪
IMG_20200129_164943.jpg
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 楼主| 发表于 2020-1-29 20:19:28 | 显示全部楼层
谢谢两位答复!现在用向量商解决。
  先考虑向外作正方形的情形,假设\(\frac{\vec{O_{1}B}}{\vec{O_{1}A}}=i\),可以求得\(o_{1}=\frac{a-bi}{1-i}\),依次l可以求出:
\(o_{2}=\frac{b-ci}{1-i},o_{3}=\frac{c-di}{1-i},o_{4}=\frac{d-ai}{1-i}\),所以
\(\vec {O_{1}O_{3}}=o_{3}-o_{1}=\frac{c-a+(b-d)i}{1-i}=\frac{\vec{CA}+\vec{DB}i}{1-i}\),\(\vec{O_{2}O_{4}}=o_{4}-o_{2}=\frac{d-b+(c-a)i}{1-i}\)
因为\(\vec {O_{1}O_{3}}i=\vec{O_{2}O_{4}}\),结论显然成立。上面\(\vec {O_{1}O_{3}}\)的表达式的几何意义是\(\vec{DB}\)旋转九十度再反向延长相等长度,与\(\vec{CA}\)平移至B点的向量按照平行四边形法则获得的向量BL与\(\vec {O_{1}O_{3}}\)的角度是四十五度,并且长度是其\(\sqrt{2}\)倍,如图所示。

向量商

向量商

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 楼主| 发表于 2020-2-1 21:09:21 | 显示全部楼层

凹四边形

凹四边形

对顶三角四边形

对顶三角四边形

以上两图说明主题的描述不准确?向内和外如何区别?

点评

内外如何定义?  发表于 2020-2-1 21:22
如何区别向内和外?  发表于 2020-2-1 21:22
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 楼主| 发表于 2020-2-1 21:21:18 | 显示全部楼层
math_humanbeing 发表于 2020-1-29 16:50
截图

补充内容 (2020-1-30 15:03):

这是帮你画的图,但是不知道如何证明。

网友图

网友图

点评

我的证明有看得懂的,请附在帖子里  发表于 2020-2-4 20:31
O2NO4全等于O3NO1  发表于 2020-2-2 21:21
然后利用全等形  发表于 2020-2-2 10:32
证明吗,简单先证明O3N=O2N,且互相垂直,同理O1N=O4N,且互相垂直  发表于 2020-2-2 10:27
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发表于 2020-2-2 09:03:24 | 显示全部楼层
这是典型的利用复平面来做的习题, A,B,C,D分别对应复数a,b,c,d.
$w=\frac{\sqrt{2}}2e^{\frac{i\pi}2}= \frac 1 2 +\frac i 2, 1-w=\bar{w}$, 于是$w=i(1-w), 1-w=-i w$
于是$O_1=b+w(a-b), O_2=\bar{w}c=c+w(b-c)$
$O_3=d+w(c-d), O_4=a+w(d-a)$
所以$O_1O_3=d+w(c-d)-b-w(a-b)=d-b+w(c+b-d-a)=(1-w)(d-b)+w(c-a)$
$O_2O_4=a+w(d-a)-c-w(b-c)=a-c+w(-a-b+c+d)=(1-w)(a-c)+w(d-b)=-i w(a-c)+i(1-w)(d-b)=i O_1O_3$
由此可以得出$O_1O_3$垂直$O_2O_4$而且两者长度相等。

点评

建议向量加箭头符号,不加一般教科书中表示没有方向的线段。  发表于 2020-2-3 22:26
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