记数系统论

zeroieme

1楼前言：开这话题为的是记录前阵子倒弄过后得到的碎碎念。
占2楼乱点一些历史上出现过的记数系统。
占3楼尝试把一些观点用数学化的语言表达出来。如果不够严谨欢迎各位指正，如果有前人做过类似的工作请提供给我参考。

zeroieme

据说一些高等动物如海豚、松鼠、乌鸦、猩猩都能数数，十以下。
所以，原始人在山洞画画的时候，就应当存在原始的记数系统。各个古文明都发展出自己的记数系统。
如今的记数系统除了每种语言里的文字化记录外，常见又跨语言的还有罗马数字与印度-阿拉伯数字。它们可以看作古代西方与东方记数系统的典型，累加制与进位制。西方从巴比伦到希腊到罗马直到中世纪。希腊人虽然发明了逻辑学，在几何上高度发达。但使用的累加制记数制约了他们在计算上的进步。而东方印度与中国采用进位制，计算类的数学成就明显更多。

zeroieme

一组数字符号与一组它们的运算符号构成一个记数系统。一个记数系统的成立的条件是每个数字符号或数字符号与运算符号构成的算式只能代表一个数。
如虽然+2与-2都是\(x^2=4\)的解。但根号作为一个记数符号，必须规定它的实数结果必须取正数\(\sqrt{4}=2\)。

一个记数系统里，分单符号数字与复合数字。没有变量的计算式或者能完全消去变量的计算式也是数字。所以一个数可以有多个表示方式。
罗马数字里I、V、D代表1、5、10。当然还有更大的符号。它们是单符号数字。VI代表6、IV代表4，其实是加法与减法的算式的缩写，属于复合数字。
印度-阿拉伯数字系统里，0123456789是单符号数字。314是\(3\times 10^2+1\times 10^1+4\times 10^0\)的缩写，属于复合数字。超越了整数集更明显\(\frac{2}{7}\)是一个除法算式。
如今现代常用的记数系统除了0123456789，\(e\)、\(\pi\)也是单符号数。

一个由有限数字符号与有限运算定义的记数系统，单符号数字与有限长度的复合数字构成的集合是可数集。

如果多个记数系统没有冲突，它们可以合并成一个新的记数系统。原来的记数系统是新的数系统的子记数系统。
如果一个记数系统的子记数系统所能代表的数集等于记数系统所能代表的数集，那么这个子记数系统称为原记数系统的全能记数系统。

完全可合并与不完全可合并
具体定义不知道怎么表达。完全可合并例子是有理数在四则运算下能最后得到一个整数或者整数除整数的简单分数。而根式数的四则运算或套嵌根号一般是不能简化成单根形式，简单如\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)就无法合并，根式记数是不完全可合并的。

wayne

zeroieme 发表于 2020-1-31 23:59
据说一些高等动物如海豚、松鼠、乌鸦、猩猩都能数数，十以下。
所以，原始人在山洞画画的时候，就应当存在 ...

我先回答2.  原始人好像并不是从一个直系下来的。至今仍然存在的部落，不会数数，没有数的概念：皮拉罕人（葡萄牙语：Pirarrãs、皮拉哈人），参考https://zh.wikipedia.org/wiki/皮拉罕人

皮拉罕人不数数，而他们的语言也没有任何形容精确数量的词。虽然努力地对他们进行教导，但一些像哥伦比亚大学的皮特‧哥登(Peter Gordon)等的研究者宣称皮拉罕人没有学习数相关事物的能力。但他的同事丹尼尔‧艾佛特教授却认为皮拉罕人有学习算术的认知能力，他们只是选择不这样做而已。

zeroieme

wayne 发表于 2021-5-1 13:12
我先回答2.  原始人好像并不是从一个直系下来的。至今仍然存在的部落，不会数数，没有数的概念：皮拉罕人 ...

我先回应 回答2
这里是碎碎念记录楼，没有问题。当然欢迎补充与指正

然后，我确实低估了人类的多样性了

mathe

高等动物能计数太夸张了

zeroieme

以下讨论的是一元数，复数、四元数、向量、张量等属于一元数的组合。

终极剧透：起点是整数，终点实数是不可达到的彼岸。因为以集合论角度，整数是可数集，实数是不可数集。

数学的发展，人类不断发展增大可记录数的集合。

第一步，自然是整数，于是非整数是对应的补集。

接着，生产需要，发明了以十进制或者六十进制的小数（文明古国时期）。此情形下有了有限小数与无限小数这对互补集。

容忍整数除法除不尽，接受了有理数。然而希腊人悲哀的发现居然有无理数，史称第一次数学危机。

第一个证明是无理数是二的二次开方，无限小数，连分数也是无限的。它可以以几何作图轻易得到，然而希腊人继续在几何上纠结。三大几何问题蕴含的是包括了二次开方的记数系统之外仍有不可有限长度记录的数。最终高斯给出了尺规作图的界限。我视为一个数集，就叫尺规数集吧，对应的当然有补集。。

那么扔掉几何，走上代数之路。容忍任意整数次开方。迎来了卡丹公式，偷的三次方程与真发明的四次方程解法。但伽罗瓦告诉我们，根式不是万能的。

利用代数数论，那些非根式方程解可以记录，可以直接加减乘除，在必要时可以计算需要的位数，但它依然是无穷的。。。。。它们叫代数数，看我列了那么长数学史，超越数的存在还会惊讶吗？代数数与超越数，实数集内的互补集。

那么接纳超越数之后呢？实际上我们只能记录超越数之中的一丁点。终极魔王是康托尔，他的对角线映射证明术结合今天的计算机原理。所有公式算法代表的某个数值，无论整数分数根号或者 E Pi，不可积分超越函数，终归在存储设备上记录为一串01，即一个整数。所以，以有限的长度所能记录的数是可数的，无法创造记录所有实数的系统。

zeroieme

可计算数 Vs 不可计算数