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[原创] 记数系统论

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发表于 2020-1-31 23:57:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1楼前言:开这话题为的是记录前阵子倒弄过后得到的碎碎念。
占2楼乱点一些历史上出现过的记数系统。
占3楼尝试把一些观点用数学化的语言表达出来。如果不够严谨欢迎各位指正,如果有前人做过类似的工作请提供给我参考。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-31 23:59:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2020-2-1 00:20 编辑

据说一些高等动物如海豚、松鼠、乌鸦、猩猩都能数数,十以下。
所以,原始人在山洞画画的时候,就应当存在原始的记数系统。各个古文明都发展出自己的记数系统。
如今的记数系统除了每种语言里的文字化记录外,常见又跨语言的还有罗马数字与印度-阿拉伯数字。它们可以看作古代西方与东方记数系统的典型,累加制与进位制。西方从巴比伦到希腊到罗马直到中世纪。希腊人虽然发明了逻辑学,在几何上高度发达。但使用的累加制记数制约了他们在计算上的进步。而东方印度与中国采用进位制,计算类的数学成就明显更多。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-31 23:59:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2020-2-1 01:19 编辑

一组数字符号与一组它们的运算符号构成一个记数系统。一个记数系统的成立的条件是每个数字符号或数字符号与运算符号构成的算式只能代表一个数。
如虽然+2与-2都是\(x^2=4\)的解。但根号作为一个记数符号,必须规定它的实数结果必须取正数\(\sqrt{4}=2\)。

一个记数系统里,分单符号数字与复合数字。没有变量的计算式或者能完全消去变量的计算式也是数字。所以一个数可以有多个表示方式。
罗马数字里I、V、D代表1、5、10。当然还有更大的符号。它们是单符号数字。VI代表6、IV代表4,其实是加法与减法的算式的缩写,属于复合数字。
印度-阿拉伯数字系统里,0123456789是单符号数字。314是\(3\times 10^2+1\times 10^1+4\times 10^0\)的缩写,属于复合数字。超越了整数集更明显\(\frac{2}{7}\)是一个除法算式。
如今现代常用的记数系统除了0123456789,\(e\)、\(\pi\)也是单符号数。

一个由有限数字符号与有限运算定义的记数系统,单符号数字与有限长度的复合数字构成的集合是可数集。

如果多个记数系统没有冲突,它们可以合并成一个新的记数系统。原来的记数系统是新的数系统的子记数系统
如果一个记数系统的子记数系统所能代表的数集等于记数系统所能代表的数集,那么这个子记数系统称为原记数系统的全能记数系统

完全可合并与不完全可合并
具体定义不知道怎么表达。完全可合并例子是有理数在四则运算下能最后得到一个整数或者整数除整数的简单分数。而根式数的四则运算或套嵌根号一般是不能简化成单根形式,简单如\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)就无法合并,根式记数是不完全可合并的。
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