a^2-ab+b^2与a^2+ab+b^2互质

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      a>b>0,  且GCD[a,b]=1，是否有GCD[a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2]=1

    若GCD[a-b,a+b]=1, 且a,b奇偶性相反，更一般的，是否有$a^n-b^n$与$a^n+b^n$互质,n是正整数。

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是
gcd(a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2)=gcd(a^2-ab+b^2,2ab)
判断a^2-ab+b^2奇偶性可知，满足gcd(a,b)=1的a^2-ab+b^2必为奇数，从而
gcd(a^2-ab+b^2,2ab)=gcd(a^2-ab+b^2,ab)=gcd(a^2+b^2,ab)<=gcd(a^2+b^2,a)gcd(a^2+b^2,b)=gcd(b^2,a)gcd(a^2,b)=1

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可是我还想借MMA编程验证一下，在小于150范围内，随机取1000个数组{a,b}，计算GCD[a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2]的值,看其是否互质,谁能写个程序

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a,b是正整数，a>b,若GCD[a,b]=1,且a,b奇偶性相反，则GCD[a+b,a-b]=1,这个结论正确吗，怎么证明

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wsc810 发表于 2020-2-12 20:41
a,b是正整数，a>b,若GCD[a,b]=1,且a,b奇偶性相反，则GCD[a+b,a-b]=1,这个结论正确吗，怎么证明

GCD[a+b,a-b]=GCD[a+b,(a-b)+(a+b)]=GCD[a+b,2a]=GCD[a+b,a](因为a+b是奇数)=GCD[b,a]=1