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[猜想] a^2-ab+b^2与a^2+ab+b^2互质

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发表于 2020-2-12 10:32:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 wsc810 于 2020-2-12 18:05 编辑

      a>b>0,  且GCD[a,b]=1,是否有GCD[a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2]=1

    若GCD[a-b,a+b]=1, 且a,b奇偶性相反,更一般的,是否有$a^n-b^n$与$a^n+b^n$互质,n是正整数。



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-12 13:04:30 | 显示全部楼层

gcd(a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2)=gcd(a^2-ab+b^2,2ab)
判断a^2-ab+b^2奇偶性可知,满足gcd(a,b)=1的a^2-ab+b^2必为奇数,从而
gcd(a^2-ab+b^2,2ab)=gcd(a^2-ab+b^2,ab)=gcd(a^2+b^2,ab)<=gcd(a^2+b^2,a)gcd(a^2+b^2,b)=gcd(b^2,a)gcd(a^2,b)=1

点评

赞!  发表于 2020-2-12 20:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-2-12 20:18:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2020-2-12 21:43 编辑



可是我还想借MMA编程验证一下,在小于150范围内,随机取1000个数组{a,b},计算GCD[a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2]的值,看其是否互质,谁能写个程序
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-2-12 20:41:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2020-2-12 21:25 编辑

a,b是正整数,a>b,若GCD[a,b]=1,且a,b奇偶性相反,则GCD[a+b,a-b]=1,这个结论正确吗,怎么证明
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发表于 2020-2-13 03:14:15 | 显示全部楼层
wsc810 发表于 2020-2-12 20:41
a,b是正整数,a>b,若GCD[a,b]=1,且a,b奇偶性相反,则GCD[a+b,a-b]=1,这个结论正确吗,怎么证明

GCD[a+b,a-b]=GCD[a+b,(a-b)+(a+b)]=GCD[a+b,2a]=GCD[a+b,a](因为a+b是奇数)=GCD[b,a]=1
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