格点阶梯跳跃问题

manthanein

给定一个平面直接坐标系，坐标系上有一动点，从\((0,a)\)（\(a\)为整数）出发，沿着与横轴或纵轴平行的方向跳跃，从一个整点跳到另一个整点，不能走重复的线段，直到落到横轴上某个整点\((b,0)\)。用\(L\)表示动点走过的路径总长度。

问：是否一定有\(a+b-L\)为偶数？

manthanein

初始点为\((0,a)\)，横走一次相当于\((\Delta x_1,a)\)，竖走一次相当于\((0,a+\Delta y_1)\)。
若干次后走到\((b,0)\)，意味着\(\D \sum_{i=1}^k \Delta x_i=b\)，\(\D \sum_{i=1}^k \Delta y_i=-a\)

\(\D a+b-L=\sum_{i=1}^k \Delta x_i-\sum_{i=1}^k \Delta y_i-\sum_{i=1}^k \abs{\Delta x_i}-\sum_{i=1}^k \abs{\Delta y_i}\)

manthanein

给定若干个整数，假定其中所有正数的和为\(P\)，所有负数的和为\(Q\)，那么它们的和为\(P+Q\)。
如果对这若干个整数取绝对值后求和，那么绝对值的和为\(P-Q\)。
这两个值的奇偶性是相同的。
所以\(\D \sum_{i=1}^k \Delta x_i-\sum_{i=1}^k \abs{\Delta x_i}\)为偶数，\(\D \sum_{i=1}^k \Delta y_i+\sum_{i=1}^k \abs{\Delta y_i}\)为偶数。
所以结果一定为偶数。