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[求助] 已知正整数N,求最小的正整数对(a,m)

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发表于 2020-3-7 10:40:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 aimisiyou 于 2020-3-7 21:02 编辑

已知正整数N,求最小的正整数对(a,m),使得a^1,a^2,a^3……a^n 分别 (mod  m)所得的结果集合为连续的自然数。
如N=3,则(a,m)=(2,5).
若N=29,(a,m)=?
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发表于 2020-3-7 11:01:30 来自手机 | 显示全部楼层
试验m=31
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发表于 2020-3-7 11:15:25 | 显示全部楼层
a最小?m最小?还是a+m最小?
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 楼主| 发表于 2020-3-7 11:17:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-3-7 11:19 编辑
northwolves 发表于 2020-3-7 11:15
a最小?m最小?还是a+m最小?


取a+m最小吧
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 楼主| 发表于 2020-3-7 11:30:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-3-7 12:58 编辑




如果N+2=m是质数,则选(a,m),a是m的原根且a^(n +1)(mod  m)  等于1或(n+1)就符合要求了。但若a^(n +1)(mod  m)  不等于1或(n+1)就不妙了。有没有其他的通用方法。
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 楼主| 发表于 2020-3-7 12:43:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-3-7 12:45 编辑

初步想了下,如果m取大于N的较小奇数,则分别取模后的出现重复几率高,如果m取较大的奇数,取模后分布相对稀疏,也就不容易构成连续自然数。这是个两难问题。难道只有当n为一些特殊值时才有解?
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 楼主| 发表于 2020-3-7 12:54:58 | 显示全部楼层
先找N=7时,(a,m)=?
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发表于 2020-3-7 18:01:32 | 显示全部楼层
a,m在200以内列表如下:
n=3,(a,m)=(2,5)
n=4,(a,m)=(2,5)
n=5,(a,m)=(3,7)
n=6,(a,m)=(3,7)
n=8,(a,m)=(6,11)
n=9,(a,m)=(2,11)
n=10,(a,m)=(2,11)
n=11,(a,m)=(2,13)
n=12,(a,m)=(2,13)
n=15,(a,m)=(3,17)
n=16,(a,m)=(3,17)
n=17,(a,m)=(2,19)
n=18,(a,m)=(2,19)
n=21,(a,m)=(5,23)
n=22,(a,m)=(5,23)
n=26,(a,m)=(15,29)
n=27,(a,m)=(2,29)
n=28,(a,m)=(2,29)
n=29,(a,m)=(3,31)
n=30,(a,m)=(3,31)
n=34,(a,m)=(19,37)
n=35,(a,m)=(2,37)
n=36,(a,m)=(2,37)
n=39,(a,m)=(6,41)
n=40,(a,m)=(6,41)
n=41,(a,m)=(3,43)
n=42,(a,m)=(3,43)
n=45,(a,m)=(5,47)
n=46,(a,m)=(5,47)
n=50,(a,m)=(27,53)
n=51,(a,m)=(2,53)
n=52,(a,m)=(2,53)
n=56,(a,m)=(30,59)
n=57,(a,m)=(2,59)
n=58,(a,m)=(2,59)
n=59,(a,m)=(2,61)
n=60,(a,m)=(2,61)
n=64,(a,m)=(34,67)
n=65,(a,m)=(2,67)
n=66,(a,m)=(2,67)
n=69,(a,m)=(7,71)
n=70,(a,m)=(7,71)
n=71,(a,m)=(5,73)
n=72,(a,m)=(5,73)
n=77,(a,m)=(3,79)
n=78,(a,m)=(3,79)
n=80,(a,m)=(42,83)
n=81,(a,m)=(2,83)
n=82,(a,m)=(2,83)
n=87,(a,m)=(3,89)
n=88,(a,m)=(3,89)
n=95,(a,m)=(5,97)
n=96,(a,m)=(5,97)
n=98,(a,m)=(51,101)
n=99,(a,m)=(2,101)
n=100,(a,m)=(2,101)
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 楼主| 发表于 2020-3-7 18:45:39 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2020-3-7 18:01
a,m在200以内列表如下:
n=3,(a,m)=(2,5)
n=4,(a,m)=(2,5)

感谢提供这么多结果!
想问一下,断开的N是能够证明不存在对应的(a,m)吗?还是对应的(a,m)太大了。
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发表于 2020-3-7 20:41:24 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2020-3-7 18:45
感谢提供这么多结果!
想问一下,断开的N是能够证明不存在对应的(a,m)吗?还是对应的(a,m)太大了。

不好说,不会证明。

n=7,a,m在50000内无解
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