不定方程$x^2-xy+y^2=z^2$的整数解

葡萄糖

如下几组整数解是否完备？为什么可以分为这几组，而不是更多组或是更少组？有什么规律吗？
\begin{align*}
&\left\{
\begin{split}
x&=k(2mn-n^2)\\
y&=k(m^2-n^2)\\
z&=k(m^2-mn+n^2)\\
\end{split}\right.
&\quad
\left\{
\begin{split}
x&=k(m^2-2mn)\\
y&=k(2mn-n^2)\\
z&=k(m^2-mn+n^2)\\
\end{split}\right.\\
\\
&\qquad\qquad\downarrow
p=m-n&p=m-n\downarrow\qquad\qquad\qquad\\
\\
&\left\{
\begin{split}
x&=k(2np+n^2)\\
y&=k(2np+p^2)\\
z&=k(p^2+np+n^2)\\
\end{split}\right.
&\quad
\left\{
\begin{split}
x&=k(p^2-n^2)\\
y&=k(2np+n^2)\\
z&=k(p^2+np+n^2)\\
\end{split}\right.\\
\end{align*}

282842712474

其实就是艾森斯坦整环的问题（https://kexue.fm/archives/2900）

不定方程就是$\alpha \bar{\alpha}= z^2$，其中$\alpha = x + y\omega$。由于右端是一个实数的平方，考虑让$\alpha = \beta^2$，那么$z =  \beta^2  \bar{\beta}^2=(\beta \bar{\beta})^2$，即$z=\beta \bar{\beta}$。设$\beta=u+v\omega$，那么$\beta^2=u^2 - v^2 + (2uv - v^2)\omega$，所以
$$\left\{\begin{aligned}&x=u^2 - v^2\\&y = 2uv - v^2\\ &z = u^2 - 2uv + v^2\end{aligned}\right.$$
是通解。

完整证明需要补充一些细节，但不难，这里省略。论坛之前有一段时间经常在玩这类题目（高斯整环、艾森斯坦整环等等）～