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[求助] 求助一道最值问题

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发表于 2020-3-14 15:57:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求助,想了很长时间也没什么头绪
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-14 20:18:06 | 显示全部楼层
利用60度角对应的△ABC,△ADE,△ADF,三个余弦定理理论上可以解出
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-15 10:20:06 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. FullSimplify@Maximize[
  5.     {DF,
  6.         (*假设BD=EC=FC=x,则BC=4*x*)
  7.         1/2==cs[AD,AE+2*x,DF]&&
  8.         1/2==cs[AD,AE,2]&&
  9.         1/2==cs[AD+x,AE+x,4*x]&&
  10.         AD>0&&
  11.         AE>0&&
  12.         DF>0&&
  13.         x>0
  14.     },{AD,AE,DF,x}
  15. ]
  16. N[%]
复制代码


三次利用余弦定理
求解结果如下:
\[\left\{\frac{2}{15} \left(\sqrt{259}+8\right),\left\{\text{AD}\to \sqrt{\frac{76}{307}+\frac{816}{307 \sqrt{259}}},\text{AE}\to \sqrt{\frac{1292}{307}+\frac{4048}{307 \sqrt{259}}},\text{DF}\to \frac{2}{15} \left(\sqrt{259}+8\right),x\to \frac{2}{15} \sqrt{17+\frac{76}{\sqrt{259}}}\right\}\right\}\]
数值如下
{3.21246,{AD->0.64243,AE->2.24227,DF->3.21246,x->0.621431}}

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-15 10:21:58 | 显示全部楼层
你缺的不是头绪,你缺的是计算软件!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-15 13:14:54 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,角度60*)
  3. fun[a_,b_,c_]:=a^2+b^2-2*a*b*(1/2)-c^2
  4. (*三个约数条件*)
  5. f1=fun[AD,AE,2]
  6. f2=fun[AD+x,AE+x,4*x]
  7. f3=fun[AD,AE+2*x,DF]
  8. (*拉格朗日乘子法目标函数+约数条件*)
  9. yy=DF+x1*f1+x2*f2+x3*f3
  10. (*求解七个偏导数*)
  11. yyAD=D[yy,AD]
  12. yyAE=D[yy,AE]
  13. yyDF=D[yy,DF]
  14. yyx=D[yy,x]
  15. yyx1=D[yy,x1]
  16. yyx2=D[yy,x2]
  17. yyx3=D[yy,x3]
  18. (*联立求解方程组*)
  19. out=Solve[
  20. yyAD==0&&
  21. yyAE==0&&
  22. yyDF==0&&
  23. yyx==0&&
  24. yyx1==0&&
  25. yyx2==0&&
  26. yyx3==0,
  27. {AD,AE,DF,x,x1,x2,x3}
  28. ];
  29. out1=FullSimplify[out]
  30. (*转化成根式显式表达*)
  31. Grid@ToRadicals[out1]
  32. N[%]
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{ccccccc}
\text{AD}\to -\sqrt{\frac{76}{307}+\frac{816}{307 \sqrt{259}}} & \text{AE}\to -2 \sqrt{\frac{323}{307}+\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{1}{15} (-2) \left(\sqrt{259}+8\right) & x\to \frac{1}{15} (-2) \sqrt{17+\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(\sqrt{259}+8\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(8-\sqrt{259}\right) \\
\text{AD}\to -\sqrt{\frac{76}{307}+\frac{816}{307 \sqrt{259}}} & \text{AE}\to -2 \sqrt{\frac{323}{307}+\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{2}{15} \left(\sqrt{259}+8\right) & x\to \frac{1}{15} (-2) \sqrt{17+\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(-\sqrt{259}-8\right) & \text{x2}\to \frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(\sqrt{259}-8\right) \\
\text{AD}\to \sqrt{\frac{76}{307}+\frac{816}{307 \sqrt{259}}} & \text{AE}\to \sqrt{\frac{1292}{307}+\frac{4048}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{1}{15} (-2) \left(\sqrt{259}+8\right) & x\to \frac{2}{15} \sqrt{17+\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(\sqrt{259}+8\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(8-\sqrt{259}\right) \\
\text{AD}\to \sqrt{\frac{76}{307}+\frac{816}{307 \sqrt{259}}} & \text{AE}\to \sqrt{\frac{1292}{307}+\frac{4048}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{2}{15} \left(\sqrt{259}+8\right) & x\to \frac{2}{15} \sqrt{17+\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(-\sqrt{259}-8\right) & \text{x2}\to \frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(\sqrt{259}-8\right) \\
\text{AD}\to -2 \sqrt{\frac{4921-204 \sqrt{259}}{79513}} & \text{AE}\to 2 \sqrt{\frac{323}{307}-\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{1}{15} (-2) \left(\sqrt{259}-8\right) & x\to \frac{1}{15} (-2) \sqrt{17-\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(\sqrt{259}-8\right) & \text{x2}\to \frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(-\sqrt{259}-8\right) \\
\text{AD}\to -2 \sqrt{\frac{4921-204 \sqrt{259}}{79513}} & \text{AE}\to 2 \sqrt{\frac{323}{307}-\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{2}{15} \left(\sqrt{259}-8\right) & x\to \frac{1}{15} (-2) \sqrt{17-\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(8-\sqrt{259}\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(\sqrt{259}+8\right) \\
\text{AD}\to 2 \sqrt{\frac{4921-204 \sqrt{259}}{79513}} & \text{AE}\to -2 \sqrt{\frac{323}{307}-\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{1}{15} (-2) \left(\sqrt{259}-8\right) & x\to \frac{2}{15} \sqrt{17-\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(\sqrt{259}-8\right) & \text{x2}\to \frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(-\sqrt{259}-8\right) \\
\text{AD}\to 2 \sqrt{\frac{4921-204 \sqrt{259}}{79513}} & \text{AE}\to -2 \sqrt{\frac{323}{307}-\frac{1012}{307 \sqrt{259}}} & \text{DF}\to \frac{2}{15} \left(\sqrt{259}-8\right) & x\to \frac{2}{15} \sqrt{17-\frac{76}{\sqrt{259}}} & \text{x1}\to \frac{1}{60} \left(8-\sqrt{259}\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{8} & \text{x3}\to \frac{1}{52} \left(\sqrt{259}+8\right) \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{ccccccc}
\text{AD}\to -0.64243 & \text{AE}\to -2.24227 & \text{DF}\to -3.21246 & x\to -0.621431 & \text{x1}\to 0.401558 & \text{x2}\to -0.125 & \text{x3}\to -0.155644 \\
\text{AD}\to -0.64243 & \text{AE}\to -2.24227 & \text{DF}\to 3.21246 & x\to -0.621431 & \text{x1}\to -0.401558 & \text{x2}\to 0.125 & \text{x3}\to 0.155644 \\
\text{AD}\to 0.64243 & \text{AE}\to 2.24227 & \text{DF}\to -3.21246 & x\to 0.621431 & \text{x1}\to 0.401558 & \text{x2}\to -0.125 & \text{x3}\to -0.155644 \\
\text{AD}\to 0.64243 & \text{AE}\to 2.24227 & \text{DF}\to 3.21246 & x\to 0.621431 & \text{x1}\to -0.401558 & \text{x2}\to 0.125 & \text{x3}\to 0.155644 \\
\text{AD}\to -0.287051 & \text{AE}\to 1.84096 & \text{DF}\to -1.07913 & x\to -0.467192 & \text{x1}\to 0.134891 & \text{x2}\to 0.125 & \text{x3}\to -0.463336 \\
\text{AD}\to -0.287051 & \text{AE}\to 1.84096 & \text{DF}\to 1.07913 & x\to -0.467192 & \text{x1}\to -0.134891 & \text{x2}\to -0.125 & \text{x3}\to 0.463336 \\
\text{AD}\to 0.287051 & \text{AE}\to -1.84096 & \text{DF}\to -1.07913 & x\to 0.467192 & \text{x1}\to 0.134891 & \text{x2}\to 0.125 & \text{x3}\to -0.463336 \\
\text{AD}\to 0.287051 & \text{AE}\to -1.84096 & \text{DF}\to 1.07913 & x\to 0.467192 & \text{x1}\to -0.134891 & \text{x2}\to -0.125 & \text{x3}\to 0.463336 \\
\end{array}\]

点评

这个问题其实很简单,就是求解联立方程组,没什么难的!  发表于 2020-3-15 13:22
第四组正好是符合条件的唯一可能的极值点  发表于 2020-3-15 13:18
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-3-15 17:26:28 | 显示全部楼层
谢谢大家,现在找到答案了,属于阿氏圆最值问题
QQ图片20200315172557.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-3-16 09:59:12 | 显示全部楼层
.Sun 发表于 2020-3-15 17:26
谢谢大家,现在找到答案了,属于阿氏圆最值问题

奇技淫巧!
代数、微积分的办法,多么自然而然的思路呀!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-17 08:38:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-3-17 09:21 编辑

谢谢 mathematica!依样画葫芦:FullSimplify@Maximize

换已知条件 DE=2 为 DE=sin60°,  记 DA=sin(x),DB=sin(y)

可得
\((\sin(x)+\sin(y))^2+(\sin(120^\circ-x)+\sin(y))^2-2(\sin(x)+\sin(y))(\sin(120^\circ-x)+\sin(y))\cos(60^\circ)=(4\sin(y))^2\)
求\(\ \ \sqrt{(\sin(60^\circ))^2+(2\sin(y))^2+2\sin(60^\circ)(2\sin(y))\cos(x)}\ \ \)的最大值

化简
\(30\cos(2y)+2\sqrt{3}\cos(x)\sin(y)+6\sin(x)\sin(y)=27\)
求\(\ \ \sqrt{\frac{3}{4}+2\sqrt{3}\cos(x)\sin(y)+(2\sin(y))^2}\ \ \)的最大值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-17 11:53:47 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-17 08:38
谢谢 mathematica!依样画葫芦:FullSimplify@Maximize

换已知条件 DE=2 为 DE=sin60°,  记 DA=sin(x) ...

对你的不感兴趣!
我只对有推理过程的感兴趣,
其余乱猜测胡乱说的,不感兴趣
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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