数列收敛问题

Cpy1531

这个数列收敛还是发散？请给出证明。
\(\D\left\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\abs{\sin i}}\right\}\)

northwolves

感觉是发散的，你看看我发的，mathe证明的这个帖子，有没有一些灵感：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-49-1-1.html

mathe

应该收敛才对。如果把|sin(n)|看成随机数，利用大数定理就可以知道结果收敛于均值$\frac2{\pi}$，但是严格证明可能会比较难

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mathe 发表于 2020-3-18 08:35
应该收敛才对。如果把|sin(n)|看成随机数，利用大数定理就可以知道结果收敛于均值$\frac2{\pi}$，但是严格 ...

数值结果与@mathe 的结果基本一致，确实接近于$2/\pi$。

mathe

如果我们把前n个整数除以pi的余数收集到区间(0,pi)，那么相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0，所有结果就是sin(x)在这个区间的定积分再除以pi

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mathe 发表于 2020-3-18 13:24
如果我们把前n个整数除以pi的余数收集到区间(0,pi)，那么相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0，所有结果 ...

“相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0”这个条件够了吗？似乎还要证明均匀性？类似的结论对所有无理数都成立？

282842712474

282842712474 发表于 2020-3-18 14:12
“相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0”这个条件够了吗？似乎还要证明均匀性？类似的结论对所有无理数 ...

确实找到一些资料了，对于任意无理数$\alpha$，数列$\{n\alpha\}$在$[0,1)$上是均匀的，其中$\{\cdot\}$表示一个实数的小数部分。在本题中$\alpha=1/\pi$
（参考链接：https://mathoverflow.net/questio ... s-irrational-number）

另外，还有一个Google Book（书名为《Hermann Weyl’s Raum - Zeit - Materie and a General Introduction to His Scientific Work》）进一步肯定了这个结果：
https://books.google.com/books?i ... 0number&f=false

mathe

利用连分数理论就应该可以证明足够均匀了，只是过程会有点冗长

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mathe 发表于 2020-3-19 06:59
利用连分数理论就应该可以证明足够均匀了，只是过程会有点冗长

欢迎给出一个demo（可以以一个更简单的无理数为例）。

Cpy1531

282842712474 发表于 2020-3-18 22:58
确实找到一些资料了，对于任意无理数$\alpha$，数列$\{n\alpha\}$在$[0,1)$上是均匀的，其中$\{\cdot\} ...

找到了一道题