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[求助] 数列收敛问题

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发表于 2020-3-17 17:19:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这个数列收敛还是发散?请给出证明。
\(\D\left\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\abs{\sin i}}\right\}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-18 00:34:49 | 显示全部楼层
感觉是发散的,你看看我发的,mathe证明的这个帖子,有没有一些灵感:

https://bbs.emath.ac.cn/thread-49-1-1.html
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发表于 2020-3-18 08:35:23 | 显示全部楼层
应该收敛才对。如果把|sin(n)|看成随机数,利用大数定理就可以知道结果收敛于均值$\frac2{\pi}$,但是严格证明可能会比较难
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发表于 2020-3-18 13:04:47 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-3-18 08:35
应该收敛才对。如果把|sin(n)|看成随机数,利用大数定理就可以知道结果收敛于均值$\frac2{\pi}$,但是严格 ...

数值结果与@mathe 的结果基本一致,确实接近于$2/\pi$。
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发表于 2020-3-18 13:24:51 来自手机 | 显示全部楼层
如果我们把前n个整数除以pi的余数收集到区间(0,pi),那么相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0,所有结果就是sin(x)在这个区间的定积分再除以pi
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发表于 2020-3-18 14:12:50 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-3-18 13:24
如果我们把前n个整数除以pi的余数收集到区间(0,pi),那么相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0,所有结果 ...

“相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0”这个条件够了吗?似乎还要证明均匀性?类似的结论对所有无理数都成立?

点评

是的,的确要证明均匀性,结果应该对所有的无理数都成立。  发表于 2020-3-18 16:05
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发表于 2020-3-18 22:58:17 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2020-3-18 14:12
“相邻的余数之间的差在n趋向无穷时趋向0”这个条件够了吗?似乎还要证明均匀性?类似的结论对所有无理数 ...


确实找到一些资料了,对于任意无理数$\alpha$,数列$\{n\alpha\}$在$[0,1)$上是均匀的,其中$\{\cdot\}$表示一个实数的小数部分。在本题中$\alpha=1/\pi$
(参考链接:https://mathoverflow.net/questio ... s-irrational-number

另外,还有一个Google Book(书名为《Hermann Weyl’s Raum - Zeit - Materie and a General Introduction to His Scientific Work》)进一步肯定了这个结果:
https://books.google.com/books?i ... 0number&f=false

截屏2020-03-18下午10.55.12.jpg
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发表于 2020-3-19 06:59:54 来自手机 | 显示全部楼层
利用连分数理论就应该可以证明足够均匀了,只是过程会有点冗长
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发表于 2020-3-19 12:25:47 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-3-19 06:59
利用连分数理论就应该可以证明足够均匀了,只是过程会有点冗长

欢迎给出一个demo(可以以一个更简单的无理数为例)。
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 楼主| 发表于 昨天 09:20 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2020-3-18 22:58
确实找到一些资料了,对于任意无理数$\alpha$,数列$\{n\alpha\}$在$[0,1)$上是均匀的,其中$\{\cdot\} ...

找到了一道题
1a2da1008f635c12.jpg
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