郁闷，不等式的矛盾

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假如x,y,z>0，x+y+z=3，考虑：xy+yz+zx

我们有$x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx$，等号成立是在 $x=y=z=1$。
我们也有$xy+yz+zx>=3\root{3}{x^2y^2z^2}$，等号成立是在$xy=xz=yz<=>x=y=z=1$的情况下。

怎么会出现这个矛盾，由此得出xy+yz+zx是确定值的？我在哪里错了？

gxqcn

不矛盾啊。

$x^2+y^2+z^3>=xy+yz+zx>=3root3{x^2y^2z^2}$ 本身是成立的，
由于两侧式子并不恒等，无法推证中间的那个式子为定值。

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根据$x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx$，得出xy+yz+zx的最大值是x=y=z=1时，即最大值为3
根据$xy+yz+zx>=3\root{3}{x^2y^2z^2}$，得出xy+yz+zx的最小值是xy=yx=zx时，即x=y=z=1时，最小值为3

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xy+yz+zx的最大值和最小值是相等的

顺便问一下，论坛的字体是什么字体（数字和字母的），感觉很有特色

gxqcn

3# 的，
第1行结论是以 $x^2+y^2+z^2$ 为定值作为大前提的，
第2行则以 $3\root{3}{x^2y^2z^2}$ 为定值时作为前提的，
两个前提不等同不一致，无法并立推导出新的结论。

gxqcn

论坛的数字字体第一优先级是 Georgia，它使数字和字母显得错落有致。

mathe

主要问题在于xyz不是定值.第二式并没有给出xy+yz+zx的下界.
比如我们说在区间[0,1]中,函数$x>=2x-1$等号只有在x=1时才取到,但是并不是说在区间[0,1]中$x>=1$