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[讨论] 关于水池同时进出水的脑残操作

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发表于 2020-3-18 23:22:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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池子一边进水一边出水的脑残操作如下。

水池的容量是10吨,一开始装有1吨脏水,由0.9吨水和0.1吨泥构成。现在一边灌入干净水,一边放脏水。灌水的速度是2吨/小时,放水的速度是1.5吨/小时。小学老师只会问:多少小时后,水池会满?

然后学生秒答:(10-1)/(2-1.5)=18小时。

但是大学老师会问:假设任何时候泥和水都是充分均匀地混合在一起的,那么水池满的时候,剩下多少吨泥?

这种题刷多了之后,也是能找到一般规律的:

剩余泥量 = 初始泥量 * (初始脏水量 / 水池容量) ^ (放水速度 / (灌水速度 - 放水速度))

代入,得 剩余泥量 = 0.1*(1/10)^(1.5/(2-1.5))=0.1*0.1^3=0.0001 吨泥。

我比较好奇的是,这个一般规律是怎么得到的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-19 08:28:51 | 显示全部楼层
这种题目用中学物理竞赛的方法还是比较容易分析的,假设某个时刻t中纯水含量为W(t), 泥含量为N(t), 那么在充分小的$\Delta t$的时间内,放走了$1.5\Delta t$的杂水以及添加了$2\Delta t$的纯水,得出方程
\(\begin{cases}W(t+\Delta t)=W(t)-1.5 \Delta t \frac{W(t)}{W(t)+N(t)}+2 \Delta t \\
N(t+\Delta t)=N(t)-1.5\Delta t \frac{N(t)}{W(t)+N(t)}\end{cases}\)
于是可以得出
\(\begin{cases} W'(t)=2-1.5\frac{W(t)}{W(t)+N(t)}\\N'(t)=-1.5\frac{N(t)}{W(t)+N(t)}\end{cases}\)
于是就变成一个微分方程组了,其中两者相加,直接得出$W(t)+N(t)$,然后代入第二式可以得出N(t)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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