关于水池同时进出水的脑残操作

KeyTo9_Fans

池子一边进水一边出水的脑残操作如下。

水池的容量是10吨，一开始装有1吨脏水，由0.9吨水和0.1吨泥构成。现在一边灌入干净水，一边放脏水。灌水的速度是2吨/小时，放水的速度是1.5吨/小时。小学老师只会问：多少小时后，水池会满？

然后学生秒答：(10-1)/(2-1.5)=18小时。

但是大学老师会问：假设任何时候泥和水都是充分均匀地混合在一起的，那么水池满的时候，剩下多少吨泥？

这种题刷多了之后，也是能找到一般规律的：

剩余泥量 = 初始泥量 * (初始脏水量 / 水池容量) ^ (放水速度 / (灌水速度 - 放水速度))

代入，得 剩余泥量 = 0.1*(1/10)^(1.5/(2-1.5))=0.1*0.1^3=0.0001 吨泥。

我比较好奇的是，这个一般规律是怎么得到的？

mathe

这种题目用中学物理竞赛的方法还是比较容易分析的，假设某个时刻t中纯水含量为W(t), 泥含量为N(t), 那么在充分小的$\Delta t$的时间内，放走了$1.5\Delta t$的杂水以及添加了$2\Delta t$的纯水，得出方程
\(\begin{cases}W(t+\Delta t)=W(t)-1.5 \Delta t \frac{W(t)}{W(t)+N(t)}+2 \Delta t \\
N(t+\Delta t)=N(t)-1.5\Delta t \frac{N(t)}{W(t)+N(t)}\end{cases}\)
于是可以得出
\(\begin{cases} W'(t)=2-1.5\frac{W(t)}{W(t)+N(t)}\\N'(t)=-1.5\frac{N(t)}{W(t)+N(t)}\end{cases}\)
于是就变成一个微分方程组了，其中两者相加，直接得出$W(t)+N(t)$,然后代入第二式可以得出N(t)