抛硬币N次，出现连续正面次数最大值？

熊一兵广义概率

如题，谁用程序统计下，

次数：      连续正面次数最大值
10^4，
10^5
10^6
10^7
10^8
10^9
10^10
10^11
10^12
10^13
10^14
10^15
10^16
10^17
10^18
10^19
10^20

统计10^20,更大值更好，找找规律

northwolves

不需要模拟，可以求出的：

设出现连续n次正面的期望次数N=a[n]

则出现连续k次正面的期望次数是a[k]
出现连续k+1次正面的期望次数为a[k+1]

在出现连续k次正面后，有下面2种情况：
i)下一个是正面，概率1/2，总次数a[k]+1;
ii)下一个是反面，概率1/2，则接下来平均仍需a[k+1],总次数a[k]+1+a[k+1]。
因此a[k+1]=(a[k]+1)/2+(a[k]+1+a[k+1])/2
整理：(a[k+1]+2)/(a[k]+2)=2
a[n]=(a[1]+2)*2^(n-1)-2
显然a[1]=2; a[n]=2^(n+1)-2
求解得：
$n=\log _{2} (N/2+1)$

northwolves

N                      n
---------------------------------------
1.E+01        2.584962501
1.E+02        5.672425342
1.E+03        8.968666793
1.E+04        12.28800089
1.E+05        15.60966933
1.E+06        18.93157145
1.E+07        22.25349695
1.E+08        25.57542479
1.E+09        28.89735286
1.E+10        32.21928095
1.E+11        35.54120904
1.E+12        38.86313714
1.E+13        42.18506523
1.E+14        45.50699333
1.E+15        48.82892142
1.E+16        52.15084952
1.E+17        55.47277761
1.E+18        58.79470571
1.E+19        62.1166338
1.E+20        65.4385619

熊一兵广义概率

northwolves 太利害了，我收藏了，谢谢！与N内相邻素数间距最大值是（lnN）^2，有对数关系相同，幂次数不同