对于四面体体积公式，哪些置换使得四面体体积不变？

mathematica

已知四面体的六条棱，然后计算体积不变，
6的阶乘等于720，这720种置换中，哪些置换使得四面体的体积保持不变呢？
我是先计算这720种置换所对应的体积，然后选出体积等于{a,b,c,x,y,z}体积的。
问题是，这些置换有哪些特征呢？根据计算前三个元素是 a b c的置换，后三个元素是对应棱长，这种置换保持了四面体体积不变，
那么还有哪些能保持四面体体积不不变呢？

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[input_]:=Module[{a,b,c,x,y,z},{a,b,c,x,y,z}=input;Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]]
   
4. aaa=fun[{a,b,c,x,y,z}]
   
5. (*列出所有的排列*)
   
6. bbb=Permutations[{a, b, c, x, y, z}];
   
7. (*对所有的排列，计算“体积”，并且找出体积等于aaa的*)
   
8. ccc=Select[{#,fun[#]}&/@bbb,#[[2]]==aaa&]
   
9. (*只保留第一个元素，去掉体积，看看哪些保持体积不变了*)
   
10. ddd=#[[1]]&/@ccc
    

复制代码

我计算得到以下置换
\[
\begin{array}{cccccc}
a & b & c & x & y & z \\
a & c & b & x & z & y \\
a & y & z & x & b & c \\
a & z & y & x & c & b \\
b & a & c & y & x & z \\
b & c & a & y & z & x \\
b & x & z & y & a & c \\
b & z & x & y & c & a \\
c & a & b & z & x & y \\
c & b & a & z & y & x \\
c & x & y & z & a & b \\
c & y & x & z & b & a \\
x & b & z & a & y & c \\
x & c & y & a & z & b \\
x & y & c & a & b & z \\
x & z & b & a & c & y \\
y & a & z & b & x & c \\
y & c & x & b & z & a \\
y & x & c & b & a & z \\
y & z & a & b & c & x \\
z & a & y & c & x & b \\
z & b & x & c & y & a \\
z & x & b & c & a & y \\
z & y & a & c & b & x \\
\end{array}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[input_]:=Module[{a,b,c,x,y,z},{a,b,c,x,y,z}=input;Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]]
   
4. aaa=fun[{a,b,c,x,y,z}]
   
5. (*列出所有的排列*)
   
6. bbb=Permutations[{a, b, c, x, y, z}];
   
7. (*对所有的排列，计算“体积”，并且找出体积等于aaa的*)
   
8. ccc=Select[{#,fun[#]}&/@bbb,#[[2]]==aaa&];
   
9. (*只保留第一个元素，去掉体积，看看哪些保持体积不变了*)
   
10. ddd=#[[1]]&/@ccc;
    
11. eee=ddd/.{a->1,b->2,c->3,x->4,y->5,z->6}
    
12. fff=PermutationCycles[#]&/@eee
    

复制代码

生成结果告诉我们：交换一组棱，不可能保持体积不变，
还有啥结论呢？

{{1,2,3,4,5,6},{1,3,2,4,6,5},{1,5,6,4,2,3},{1,6,5,4,3,2},{2,1,3,5,4,6},{2,3,1,5,6,4},{2,4,6,5,1,3},{2,6,4,5,3,1},{3,1,2,6,4,5},{3,2,1,6,5,4},{3,4,5,6,1,2},{3,5,4,6,2,1},{4,2,6,1,5,3},{4,3,5,1,6,2},{4,5,3,1,2,6},{4,6,2,1,3,5},{5,1,6,2,4,3},{5,3,4,2,6,1},{5,4,3,2,1,6},{5,6,1,2,3,4},{6,1,5,3,4,2},{6,2,4,3,5,1},{6,4,2,3,1,5},{6,5,1,3,2,4}}

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 3}, {5, 6}}], Cycles[{{2, 5}, {3, 6}}],
Cycles[{{2, 6}, {3, 5}}], Cycles[{{1, 2}, {4, 5}}],
Cycles[{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}], Cycles[{{1, 2, 4, 5}, {3, 6}}],
Cycles[{{1, 2, 6}, {3, 4, 5}}], Cycles[{{1, 3, 2}, {4, 6, 5}}],
Cycles[{{1, 3}, {4, 6}}], Cycles[{{1, 3, 5}, {2, 4, 6}}],
Cycles[{{1, 3, 4, 6}, {2, 5}}], Cycles[{{1, 4}, {3, 6}}],
Cycles[{{1, 4}, {2, 3, 5, 6}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 5}}],
Cycles[{{1, 4}, {2, 6, 5, 3}}], Cycles[{{1, 5, 4, 2}, {3, 6}}],
Cycles[{{1, 5, 6}, {2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 5}, {2, 4}}],
Cycles[{{1, 5, 3}, {2, 6, 4}}], Cycles[{{1, 6, 2}, {3, 5, 4}}],
Cycles[{{1, 6}, {3, 4}}], Cycles[{{1, 6, 5}, {2, 4, 3}}],
Cycles[{{1, 6, 4, 3}, {2, 5}}]}

mathematica

@kastin 行列式是可以行列交换，但是你那么交换，行列式就变了呀，以前的行列式对角线的元素都是零！
我觉得可能只对两种操作保持体积不变，一种是绕着顶点旋转，还有一种就是镜像！

hujunhua

\[SS(1, 2, 3, 4)= \begin{Vmatrix}0&1\\1&l_{ij}^2\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&l_{12}^2&l_{13}^2&l_{14}^2\\1&l_{21}^2&0&l_{23}^2&l_{24}^2\\1&l_{31}^2&l_{32}^2&0&l_{34}^2\\1&l_{41}^2&l_{42}^2&l_{43}^2&0\end{Vmatrix}\]
对1234的任何排列ijkl, 都有SS(i, j, k, l)=SS(1, 2, 3, 4)，故共有4！种变换。
注: 对角线诸元相应的\(l_{ii}=0\)（俩重合点间的距离）.

lsr314

对于一般的四面体，体积相同的就是全等的。等价的有四个面*三个顶点排序=4*3！=24种。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-4-2 17:35
\[SS(1, 2, 3, 4)= \begin{Vmatrix}0&1\\1&l_{ij}^2\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&l_{12}^2 ...

4！排列是不错，但是你能证明随便一个排列最后体积不变吗？

mathematica

lsr314 发表于 2020-4-2 18:39
对于一般的四面体，体积相同的就是全等的。等价的有四个面*三个顶点排序=4*3！=24种。

凑答案！

mathematica

我只看出这置换都是偶置换，像换两条棱的，奇置换，体积就变了！

mathematica

lsr314 发表于 2020-4-2 18:39
对于一般的四面体，体积相同的就是全等的。等价的有四个面*三个顶点排序=4*3！=24种。

四个顶点，其余三个点是3！
但是有一个是不变的，四个顶点，然后有四个排列是保持不变的，
所以应该扣除3个，这样就不是24了，所以你的肯定是抽答案