8n+3型素数必可拆为a²+2b²

nyy

buck114 发表于 2023-3-28 20:44
$4k+1=a^2+4bc$的解可以看做一个边长为$a$的正方形外加四个长宽分别为$b, c$的长方形所组成的风车型.自己 ...

牛人！你懂得可不少！

buck114

nyy 发表于 2023-3-28 15:20
我只好奇这种构造证明是怎么想出来的！

4k+1型的情况

buck114

buck114 发表于 2023-3-29 13:36
4k+1型的情况

本题的情况明天补上

buck114

buck114 发表于 2023-3-29 13:39
本题的情况明天补上

首先明确一下$a^2+2bc$的图形表示，我们约定中间为$a$为边长的正方形，而$b$为长,$c$为宽的长方形按下面这种方式环绕：如图一，左侧为$b<a+c$，右侧为$b>a+c$，即当$b>a+c$时多余部分向下弯折。

接着就是分情况把各种情况表示出来。如图二，相邻两个图形之间可以互相变换（奇数编号看黑线，偶数编号看红线）

1、2表示的是$2b<a$和$2b>4a+4c$
3、4表示的是$a<2b<2a$和$2a<2b<2a+c$
5、6表示的是$2a+c<2b<2a+2c$和$2a+2c<2b<3a+2c$
7、8表示的是$3a+2c<2b<4a+2c$和$4a+2c<2b<4a+4b$

显然，1对应6#中的第一段，2对应第五段，3、4对应第二段，5、6对应第三段， 7、8对应第四段。

要上课了，各边长度可以自行验证。如果一开始就知道4k+1表示为$a^2+b^2$的图形证明的话用这个思路构造还蛮快的

nyy

buck114 发表于 2023-3-30 13:55
首先明确一下$a^2+2bc$的图形表示，我们约定中间为$a$为边长的正方形，而$b$为长,$c$为宽的长方形按下 ...

为什么不用CAD之类的画图，反而用tikzpicture画图？难道CAD不比这玩意简单很多吗？

nyy

nyy 发表于 2023-3-30 15:37
为什么不用CAD之类的画图，反而用tikzpicture画图？难道CAD不比这玩意简单很多吗？

你比我强多了，我高中的时候，连LaTeX是什么东西都不知道

nyy

hujunhua 发表于 2020-4-7 14:29
是否看过本坛的这个帖子？
著名的Eulor-Fermat定理的一句话证明

我又要刨根问底了！你们这个分类讨论的区间是怎么想到的，怎么来的？总不能天上掉下来吧。我关心的就是这个！

区间与映射后的点，怎么来的。这很重要。
我需要的不是证明，我需要的是它怎么来的？

王守恩

葡萄糖 发表于 2020-4-5 10:22
请看清楚别人的问题再做评论……

3=1^2+2*1^2

我关心的是这算式可以调整吗？谢谢！

1. Select[Union@Flatten@Table[(a^2 + 2 b^2 - 3)/8, {b, 1, Sqrt[4*40 + 1]}, {a, 1, Sqrt[8*40 + 3 - 2 b^2]}], IntegerQ[#] &]
   
2. {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, \23, 26, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 40}

复制代码

当n=0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15时有解。

n=0,0*8+3=03=1^2+2*1^2
n=1,1*8+3=11=3^2+2*1^2
n=2,2*8+3=19=1^2+2*3^2
n=3,3*8+3=27=3^2+2*3^2
n=4,4*8+3=35(无解)
n=5,5*8+3=43=5^2+2*3^2
n=6,6*8+3=51=1^2+2*5^2
n=7,7*8+3=59=3^2+2*5^2
n=8,8*8+3=67=7^2+2*3^2
.........

王守恩

下面的说法有什么规律？

1143表示1个平方数+1个平方数不可以写成4k+3素数
1147表示1个平方数+1个平方数不可以写成4k+7素数
1285表示1个平方数+2×平方数不可以写成8k+5素数

1143
1147
1285
1287
1332
1335
1338
1342
1346
1362
1665
1368
1382
1386
1392
1395
1396
1398
1442
1443
1446
1447
1482
1483
1486
1487
1493
1496
1543
1547
1552
1553
1557
1558
1582
1583
1587
1632
1635
1638
1662
1665
1668
1683
1685
1692
1693
1695
1698
1742
1746
1773
1775
1776
1782
1786
1793
1796
1842
1843
1846
1847
1882
1883
1885
1886
1887
1932
1935
1938
1943
1947
1962
1965
1968
1983
1986
1987
1992
1993
1995
1996
1998
......

王守恩

19楼太浪费地皮了，归拢一下。

下面的说法有什么规律？

1143表示1个平方数+1个平方数不可以写成4k+3素数
1147表示1个平方数+1个平方数不可以写成4k+7素数
1285表示1个平方数+2×平方数不可以写成8k+5素数

1143,7
1285,7,
1332,5,8,
1342,6,
1362,5,8,
1382,6
1392,5,6,8,
1442,3,6,7,
1482,3,6,7,
1493,6,
1543,7,
1552,3,7,8,
1582,3,7,
1632,5,8,
1662,5,8,
1683,5,
1692,3,5,8,
1742,6,
1773,5,6,
1782,6,
1793,6,
1842,3,6,7,
1882,3,5,6,7,
1932,5,8,
1943,7,
1962,5,8,
1983,6,7,
1992,3,5,6,8,
......