自然数的所有真因子的和除以自身可以等于任何有理数

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从完全数中得出的一个问题困扰很久。不知高手们能否给予解答。
自然数的所有因子的和（除了自身以外）除以自身是否可以等于任何正有理数呢？
也就是说对于任意给定的正有理数Q，一定能找到一个自然数，它的所有因子的和除以自身等于Q。

gxqcn

应强调一下为“真因子”，否则将无法表达小于1的有理数。

mathe

这个问题是否定的.
对于任何即约分数$u/v>1$,如果它能够表示乘${sigma(n)}/n$的形式
那么显然n必须是v的倍数
假设v的因子分解形式为$p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}$
设n的因子分解形式为$p_1^{b_1}p_2^{b_2}..p_t^{b_t}...p_s^{b_s}$
其中$s>=t,b_i>=a_i$
那么${sigma(n)}/n={(p_1^{b_1+1}-1)(p_2^{b_2+1}-1)...(b_s^{b_s+1}-1)}/{p_1^{b_1}(p_1-1)p_2^{b_2}(p_2-1)...p_s^{b_s}(p_s-1)}$
$>=(1+1/{p_1})(1+1/{p_2})...(1+1/{p_s})$
$>=(1+1/{p_1})(1+1/{p_2})...(1+1/{p_t})$
也就是我们需要选择一个充分接近1的有理数$u/v$就可以矛盾了.
比如取v=6,u=7,由于$7/6<(1+1/2)(1+1/3)=2$,那么必然不存在自然数n使得${sigma(n)}/n=7/6$

〇〇

公式的>=能否显示成“≥”

gxqcn

TeX 中能显示成这种效果，见 3# mathe 的帖子。

056254628

对于任何即约分数$n/v>1$,如果它能够表示成${sigma(n)}/n$的形式
那么显然n必须是v的倍数。
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为什么是显然的？
n=12,  ${sigma(n)}/n$=16/12=4/3,又如何解释？


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不好意思，看错了。

056254628

因为要求真因子，所以
3楼的 ${sigma(n)}/n$ 的计算结果还要减去1.
得不出那个结论。

gxqcn

是一样的。
比方说，mathe 反证了楼主的猜想：不存在自然数 $n$ 使得 $(\sigma(n)-n)/n=1/6$

056254628

那么  ${sigma(n)}/n -1$ 的值域又是什么呢？
比如它能取到的正有理数的集合为S，取不到的正有理数的集合为P
那么，P有没有最大值，有没有最小值，是否所有的正整数都会出现在S中，P中没有整数存在？

056254628

续9＃：
P中没有最小值。
按照3＃的计算方法，两个以上的素数的乘积的倒数都属于P中，所以P中没有最小值。
如$1/2*1/3=1/6$,$1/2*1/5=1/10$,$1/2*1/3*1/5*1/7=1/210$等等都属于P。