求一个多面体体积所满足的代数方程

hejoseph

1. b=Root[345+4464*#1+12976*#1^2-10560*#1^3-47008*#1^4+68352*#1^5-3328*#1^6-207872*#1^7+387328*#1^8-270336*#1^9+65536*#1^10&,4,0]
   
2. a=RootReduce[((2b-1)^2-2)/((2b-1)^2-4)]
   
3. MinimalPolynomial[(1+a)Sqrt[1-a^2]+1/3(1+a)(2b-1)Sqrt[1-a^2]+(4a+3)/12Sqrt[3-4a^2]+(1+a)/3Sqrt[2(1+a)(1-2a)]+1/6(1+2a)Sqrt[2(1-2a-2a^2)]]

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运行上面的Mathematica代码，最后那段是为了求出下图（最下面的是展开图）棱长为1的多面体的体积所满足的代数方程，但是运行很长事件都没结果，有什么其他好方法吗？

xiaoshuchong

我算过阿基米德多面体的体积。

这个多面体一个点附近有4个三角形和一个正方形，棱长为1的话，我得到的结果是7.88947739997

是一个六次方程$729x^{6}-45684x^{4}+19386x^{2}-12482=0$的根。

我的结果显然跟楼主不一样，希望楼主补充更多信息。

hujunhua

xiaoshuchong 发表于 2022-3-28 16:45
我算过阿基米德多面体的体积。

这个多面体一个点附近有4个三角形和一个正方形，棱长为1的话，我得到的结 ...

楼主这个是约翰逊多面体，J89

xiaoshuchong

hujunhua 发表于 2022-3-31 09:16
楼主这个是约翰逊多面体，J89

原来不是阿基米德多面体。。。

补充几个信息

Hebesphenomegacorona，编号为J89, 体积约为2.9129104145402091660，

其平方是一个十次方程的根。

http://dmccooey.com/polyhedra/JohnsonPage5.html

xiaoshuchong

我用gp/pari算的，用的是数值方法。

首先令x=1260V，V是体积，将体积表达式中的根号全部去掉，得到x的16次方程

把所有十个b值代入16次方程，全部乘起来得到一个160次方程。

因式分解这个方程，得到8个20次方程。用V=2.912910414540209166进行筛选，得到结果。

令x=12V， 得到如下结果

\[\begin{eqnarray*}
0&=&x^{20}-2198x^{18}+1575661x^{16}-531980040x^{14}+81522225746x^{12}\\&&-4009998599108x^{10}+68990427694290x^{8}-226162636662024x^{6}\\&&-86762801956691x^{4}+74596182307434x^{2}+218170417571649
\end{eqnarray*}\]

注意，数值保留1000位有效数字。 得到的数值系数需要取整，总误差约为$10^{-500}$，

基本上可以保证结果的准确性。

chyanog

Mathematica code

1. list={{Sqrt[1-a^2],t1}, {Sqrt[(1-2 a) (1+a)],Sqrt[2]t2} ,{Sqrt[3-4 a^2],t3},{Sqrt[(1-2 a-2 a^2)],Sqrt[2]t4}};
   
2. polys=Flatten[{(1+a) Sqrt[1-a^2]+1/3 (1+a) (2 b-1) Sqrt[1-a^2]+1/12 (4 a+3) Sqrt[3-4 a^2]+1/3 (1+a) Sqrt[2 (1+a) (1-2 a)]+1/6 (1+2 a) Sqrt[2 (1-2 a-2 a^2)]-V/.Rule@@@list,Subtract@@@(list^2),a-((2 b-1)^2-2)/((2 b-1)^2-4)}]
   
3. gb=GroebnerBasis[polys,{V},{b,t1,t2,t3,t4},Method->"Buchberger",CoefficientDomain->RationalFunctions,MonomialOrder->EliminationOrder]//Factor;
   
4. ruleb=b->Root[345+4464 #+12976 #^2-10560 #^3-47008 #^4+68352 #^5-3328 #^6-207872 #^7+387328 #^8-270336 #^9+65536 #^10&,4,0];
   
5. rulea=a->RootReduce[((2 b-1)^2-2)/((2 b-1)^2-4)/.ruleb];
   
6. Solve[Factor[gb][[1,-1]]==0,V][[-1]]/.rulea//RootReduce

复制代码

Output

V->Root[2693461945329+132615435213216 #^2-22211277300912896 #^4-8337259437908852736 #^6+366229890219212144640 #^8-3065290664181478981632 #^10+8973584611317745975296 #^12-8432333285523990773760 #^14+3596480447590271287296 #^16-722445512980071186432 #^18+47330370277129322496 #^20&, 8]

xiaoshuchong

chyanog 发表于 2022-3-31 15:05
Mathematica code

Output

这算得快吗？

xiaoshuchong

chyanog 发表于 2022-3-31 15:05
Mathematica code

Output

一个新的问题。

如何计算Johnson多面体$J_{88}$体积的最小多项式？

已知，其体积可表示为
V = ( ((4*C2 + 4*C3)*C6 + ((4*C4 - 2)*C7 + (4*C5*C4 + (4*C3 + 2*C5))))*C1 + (2*C5*C4 + C2))/6

C1~C7的数值为
C7 = 0.182104154459469031158808796626
C1 = 0.594633335632638530052424402292
C2 = 0.721504360056562056313738491681
C3 = 0.803997012528281635188182334859
C4 = 0.854743082488965126494679515012
C5 = 0.860839434381952780381784457032
C6 = 1.28310233883126903991682231290

以下为C1~C7满足的代数方程

C7平方满足以下方程
41617981440000*(x^16)+179608485888000*(x^15)-142452405043200*(x^14)-329536776437760*(x^13)+633482930814976*(x^12)-528565132066816*(x^11)+276682587242496*(x^10)-100903793983488*(x^9)+26761473384448*(x^8)-5262207467520*(x^7)+772426682368*(x^6)-84324296704*(x^5)+6727235840*(x^4)-377069824*(x^3)+13754560*(x^2)-282240*x+2401

C1满足
1680*(x^16)-4800*(x^15)-3712*(x^14)+17216*(x^13)+1568*(x^12)-24576*(x^11)+2464*(x^10)+17248*(x^9)-3384*(x^8)-5584*(x^7)+2000*(x^6)+240*(x^5)-776*(x^4)+304*(x^3)+200*(x^2)-56*x-23

C2平方满足
125581640625*(x^16)+2852072775000*(x^15)+17011005753600*(x^14)+9052033486080*(x^13)-39976383006224*(x^12)+1334845174432*(x^11)+37490052242112*(x^10)-29118781861632*(x^9)+9203072912224*(x^8)-1102427274624*(x^7)-54157925888*(x^6)+22955173888*(x^5)-1040984320*(x^4)-122358272*(x^3)+12491776*(x^2)-110592*x+256

C3平方满足
2822400*(x^16)-9646080*(x^15)-9675776*(x^14)+103437312*(x^13)-227413760*(x^12)+233392640*(x^11)-69881600*(x^10)-121877248*(x^9)+193093472*(x^8)-146991616*(x^7)+72449088*(x^6)-24790592*(x^5)+5980816*(x^4)-1002976*(x^3)+111664*(x^2)-7440*x+225

C4满足
221184000*(x^16)-1238630400*(x^15)+401604608*(x^14)+6489309184*(x^13)-8008646656*(x^12)-8458223616*(x^11)+17003921408*(x^10)+2453762048*(x^9)-14698614272*(x^8)+1850213376*(x^7)+6202611712*(x^6)-1200348928*(x^5)-1314165568*(x^4)+173683520*(x^3)+114590272*(x^2)+7459792*x+125495

C5平方满足
722534400*(x^16)+1246494720*(x^15)-3086483456*(x^14)-4433969152*(x^13)+6638747648*(x^12)+6431883264*(x^11)-8240873472*(x^10)-4412968960*(x^9)+5642255872*(x^8)+1323041792*(x^7)-1829933056*(x^6)-241050368*(x^5)+220764736*(x^4)+112811072*(x^3)-45773760*(x^2)-739504*x+196249

C6满足
983040*(x^16)-7864320*(x^15)+25690112*(x^14)-42008576*(x^13)+29999104*(x^12)+6291456*(x^11)-24870912*(x^10)+11030528*(x^9)+4651520*(x^8)-4438016*(x^7)-6144*(x^6)+625920*(x^5)-57920*(x^4)-29440*(x^3)+3968*(x^2)-144*x-81

多面体的体积约为1.9481082288594728033


相关链接
http://dmccooey.com/polyhedra/Sphenomegacorona.html