如何求解(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b？

mathematica

如何求解(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b？
这是初中的一道数学题，我记得答案是2与-1，当时初中老师没说明白，
大家应该如何求解？

假设(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b=k
然后

-k*a+b+c=0
a-k*b+c=0
a+b-k*c=0
由a b c 在分母上所以都不等于零，
所以系数行列式的值等于零，

1. Det[{{-k, 1, 1}, {1, -k, 1}, {1, 1, -k}}]

复制代码

得到\[-k^3+3 k+2\]
解方程得到
\[\{\{k\to -1\},\{k\to -1\},\{k\to 2\}\}\]
除此之外，还有什么好的办法呢？

hejoseph

由题目可得 $a$、$b$、$c$ 都不能为 $0$。
由 $(a+b)/c=k$ 得 $c=(a+b)/k$，
$(b+c)/a=k$ 得 $c=ak-b$，
$(c+a)/b=k$ 得 $c=bk-a$。
由 $c=ak-b=bk-a$ 得 $a=b$ 或 $k=-1$。若 $k=-1$ 时必定有 $a+b+c=0$，满足要求。若 $a=b$，则由  $c=(a+b)/k=ak-b$ 得 $2/k=k-1$，解这个方程得 $k=2$ 或 $k=-1$；$k=2$时必定有 $a=b=c$；$k=-1$ 时前面已经讨论过，此时必定有 $a+b+c=0$。

hujunhua

由合比定理可得a+b+c≠0时，k=2
由合比定理的结果启示讨论a+b+c=0的情况，直接可得k=-1

王守恩

设\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k\)
即
\(a+b=k*c\ \ \ \ (1)\)
\(b+c=k*a\ \ \ \ (2)\)
\(c+a=k*b\ \ \ \ (3)\)
(1)+(2)+(3)得
\(2(a+b+c)=k(a+b+c)\)
只有2种可能。
第1种可能：k=2  
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=2\)
  1数是另2数的平均数  a=b=c
譬如：{a,b,c}={1,1,1}{2,2,2}{3,3,3}{4,4,4}{5,5,5}
第2种可能：a+b+c=0  k=-1  
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=-1\)
  1数是另2数之和的相反数
譬如：{a,b,c}={1,1,-2}{1,2,-3}{2,2,-4}{2,3,-5}
       {a,b,c}={2,-1,-1},{3,-1,-2}{4,-2,-2}{5,-2,-3}

wayne

https://baike.baidu.com/item/合分比定理：

如果$a+b+c!=0$,那么根据比例的性质，$(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b = (a+b+b+c+c+a)/(a+b+c) =2$

gxqcn

这道题是很经典，楼上是正解

楼主过于沉迷依赖数学工具解答，导致自推导能力弱化了很多

mathematica

gxqcn 发表于 2020-5-27 07:43
这道题是很经典，楼上是正解

楼主过于沉迷依赖数学工具解答，导致自推导能力弱化了很多

-k*a+b+c=0
a-k*b+c=0
a+b-k*c=0

把这三行相加，然后因式分解，得到(2-k)(a+b+c)=0
也能得到想要的结论，
我不是沉迷数学工具解答，
我就是问问有没有好的解决办法！