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[原创] 已知锐角三角形ABC,求证sinA+sinB+sinC>2

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发表于 2020-5-27 09:52:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知锐角三角形ABC,求证sinA+sinB+sinC>2
这是接近20年前我没做出来的一道高中题目,
用高中知识如何证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-27 14:14:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2020-5-27 20:44 编辑

不妨设 $A\geq B$。
由锐角三角形得 $45^\circ<(A+B)/2<90^\circ$,即 $\sin(A+B)/2>\cos(A+B)/2>0$。
由锐角三角形得 $90^\circ>90^\circ-(A-B)/2>(A+B)/2>45^\circ$,即 $\cos(A-B)/2>\sin(A+B)/2>0$。
所以
\[
\sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}>2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A+B}{2}+2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}=2
\]

点评

之前的步骤确实有严重错误,已修改过了  发表于 2020-5-27 20:30
正确的结果: 2*cos[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]=1-cos(C). 诱导公式直接可得。 你的结果是2*cos[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]=1+cos(C)。 带A=B=C=60看看结果。2*1/2*1/2=1/2=1+1/2(???)  发表于 2020-5-27 19:09
所以你的证明关键步骤是错的。也不能证明出结论。  发表于 2020-5-27 18:04
sinA+sinB=1- Cos(C)  发表于 2020-5-27 18:02
修改了  发表于 2020-5-27 16:37

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-27 15:25:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 BeerRabbit 于 2020-5-27 15:29 编辑

半径为0.5的圆,其内接锐角三角形周长:
1、极小值:两条边无限接近圆心,周长逼近2倍直径=2;
2、最大值:正三角形周长=3*Sqrt(3)/2。

至于如何证明,可以从物理学角度出发,“光滑的弹性绳套在圆环上”,然后对绳上的张力进行分解分析。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-27 18:03:14 | 显示全部楼层
先证明锐角三角形中sinA+sinB+sinC>1+cosA+cosB+cosC

再证明cosA+cosB+cosC>1

过程1)1+cosA+cosB+cosC-sinA+sinB+sinC

=2cos2(A/2)+2cos((B+C)/2)·cos((B-C)/2)-2(sin(A/2)·cos(A/2)+sin((B+C)/2)·cos((B-C)/2))

=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(cos((B+C)/2)-sin((B+C)/2))]

=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(sin(A/2)-cos(A/2))]

=2(cos(A/2)-sin(A/2))·(cos(A/2)-cos((B-C)/2))

=-4(cos(A/2)-sin(A/2))·sin((A+B-C)/4)·sin((A+C-B)/4)..........①

由于A,B,C∈(0,π/2),所以0<(A/2)<π/4,0<(A+B-C)/4<π/4,0<(A+C-B)/4<π/4

所以①式<0

∴sinA+sinB+sinC>1+cosA+cosB+cosC

(2)cosA+cosB+cosC=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2cos2((A+B)/2)+1

=2cos((A+B)/2)(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)+1

=4cos((A+B)/2)sin(A/2)sin(B/2)+1

=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

>1

综合(1)(2)知锐角三角形中sinA+sinB+sinC>2

点评

没有LaTeX排版,看懂你这个证明也不容易呀  发表于 2020-5-28 17:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-5-28 12:00:18 | 显示全部楼层
我过去的数学老师,
用sinA^2+sinB^2+sinC^2=2(1+CosA*CosB*CosC)来证明的

点评

锐角三角形2(1+CosA*CosB*CosC)大于2?能说看不懂吗?  发表于 2020-6-6 10:18
锐角三角形2(1+CosA*CosB*CosC)大于2,很巧妙的证法  发表于 2020-5-28 17:10
sinA+sinB+sinC>sinA^2+sinB^2+sinC^2  发表于 2020-5-28 17:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-1 12:12:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-1 12:22 编辑

[quote]markfang2050 发表于 2020-5-27 18:03
markfang2050!用 LaTeX 排版排版,请您再修改一下,我很可能搞错了。

先证明锐角三角形中  \(\sin A+\sin B+\sin C>1+\cos A+\cos B+\cos C\)

再证明  \(\cos A+\cos B+\cos C>1\)

过程(1):\(1+\cos A+\cos B+\cos C-\sin A+\sin B+\sin C\)

\(=2\cos2(\frac{A}{2})+2\cos(\frac{B+C}{2})\cos(\frac{B-C}{2})-2\big(\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})+\sin(\frac{B+C}{2})\cos(\frac{B-C}{2})\big)\)

\(=2\bigg(\cos(\frac{A}{2})\big(\cos(\frac{A}{2})-\sin(\frac{A}{2})\big)+\cos(\frac{B-C}{2})\big(\cos(\frac{B+C}{2})-\sin(\frac{B+C}{2})\big)\bigg)\)

\(=2\bigg(\cos(\frac{A}{2})\big(\cos(\frac{A}{2})-\sin(\frac{A}{2})\big)+\cos(\frac{B-C}{2})\big(\sin(\frac{A}{2})-\cos(\frac{A}{2})\big)\bigg)\)

\(=2\big(\cos(\frac{A}{2})-\sin(\frac{A}{2})\big)\big(\cos(\frac{A}{2})-\cos(\frac{B-C}{2})\big)\)

\(=-4\big(\cos(\frac{A}{2})-\sin(\frac{A}{2})\big)\sin(\frac{A+B-C}{4})\sin(\frac{A+C-B}{4})\cdots\)①

由于 \(A,B,C∈(0,\frac{\pi}{2}),\)所以\(0<\frac{A}{2}<\frac{\pi}{4},0<\frac{A+B-C}{4}<\frac{\pi}{4},0<\frac{A+C-B}{4}<\frac{\pi}{4}\)

所以①式<0

\(∴\sin A+\sin B+\sin C>1+\cos A+\cos B+\cos C\)

(2):\(\cos A+\cos B+\cos C=2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})-2\cos2(\frac{A+B}{2})+1\)

\(=2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})-\cos(\frac{A+B}{2})+1\)

\(=4\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})+1\)

\(=1+4\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})>1\)

综合(1)(2)知锐角三角形中  \(\sin A+\sin B+\sin C>2\)
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发表于 2020-6-1 12:33:02 | 显示全部楼层
\(\sin A+\sin B+\sin C\)

=\(\sin(B+C)+\sin(C+A)+\sin(A+B)\)

=\(\sin B\cos C+\cos B\sin C+\sin C\cos A+\cos C\sin A+\sin A\cos B+\cos A\sin B\)

=\(\bigg(\sin A\cos B+\sin B\cos C+\sin C\cos A\bigg)+\bigg(\sin A\cos C+\sin B\cos A+\sin C\cos B\bigg)\)

\(>1+1\)

关键一步,如何证明?\(\sin A\cos B+\sin B\cos C+\sin C\cos A>1\)
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 楼主| 发表于 2020-6-6 10:38:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-6-1 12:12
[quote]markfang2050 发表于 2020-5-27 18:03
markfang2050!用 LaTeX 排版排版,请您再修改一下,我很可 ...

估计这世界上看不懂这个的估计不多!
我简直就是无语了!
@王守恩
QQ截图20200606103735.png

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哈哈,,,,打脸  发表于 2020-6-9 19:54
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发表于 2020-6-7 06:04:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-7 07:49 编辑

\(\sin^2C+\sin^2B+\sin^2A\)

\(\D=\frac{1-\cos(2C)}{2}+\frac{1-\cos(2B)}{2}+\frac{1-\cos(2A)}{2}\)

\(\D=\frac{3-\big(2\cos^2C-1+2\cos(B+A)\cos(B-A)\big)}{2}\)

\(=2-\cos C\big(\cos C-\cos(B-A)\big)\)

\(\D=2+2\cos C\sin\big(\frac{C-B+A}{2}\big)\sin\big(\frac{C+B-A}{2}\big)\)

\(=2+2\cos C\sin(90+B)\sin(90+A)\)

\(=2+2\cos C\cos B\cos A\)
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发表于 2020-6-8 23:26:58 | 显示全部楼层
由正弦定理,要证明sinA+sinB+sinC>2,即要证明AB+AC+BC>4R,旋转圆O并三角形ABC180度由图知道,即是要证明AB+AC+BC>4R,BC=A1B1,显然AB+AA1+A1B1>BP+B1P=4R
即要证明AC>AA1即可,显然AA1CC1为平行四边形,因为四边形BACP为圆内边线,三角形ABC为锐角,所以角CPA>90度,>角APA1,即AC>AA1
sinA sinB sinC大于2证明.jpg

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王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 好想法!

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