求平面上到两直线及定点P距离之和最小的点M

lsr314

已知两条直线夹角为 a，点P不在这两条直线上，求平面上到两直线及点 P 距离之和最小的点 M。
画了几个图，点 M 一般不是两直线的交点。

lsr314

当0<a<60°时，点M=P.
当60°<a<90°时，点M在离P较近的直线上，且MP与该直线的夹角=90°-a.如果这个条件在两直线交点的另一侧取得，则M=两直线交点。

倪举鹏

三大小相等的力平衡。两力的方向垂直于两线

倪举鹏

a=60,MP平行于角a的平分线

chyanog

用Mathematica模拟了一下

1. data=RandomReal[2Pi{-1,1},{20,6}];
   
2. 
   
3. func=Function[{θ,α,c1,c2,x0,y0},
   
4. L1=InfiniteLine[-c1{Cos[θ],Sin[θ]},{Sin[θ],-Cos[θ]}];L2=InfiniteLine[-c2{Cos[α+θ],Sin[α+θ]},{Sin[α+θ],-Cos[α+θ]}];pt=ArgMin[Norm[{x,y}-{x0,y0}]+RegionDistance[L1,{x,y}]+RegionDistance[L2,{x,y}],{x,y},WorkingPrecision->16];
   
5. Framed@Graphics[{{Gray,L1,L2},{AbsolutePointSize[9],Point[{x0,y0}]},{Red,AbsolutePointSize[6],Point[pt]},{Dashed,Blue,Line[{RegionNearest[#,pt],pt}]&/@{L1,L2},Line[{pt,{x0,y0}}]}},PlotLabel->Row[{"α = ",1/2 ArcCos[Cos[2 α]]/°,"°  ",If[Norm[pt-{x0,y0}]<10^-3,Style["点M=P",Orange]],If[Norm[pt-RegionIntersection[L1,L2][[1]]]<10^-3,Style["点M=两直线交点",Darker@Green]]}]]];
   
6. 
   
7. Multicolumn[func@@@data,4]
   

复制代码

mathe

两条直线相交将平面划分成四个区域，可以只保留包含P点的那个区域，这是两条直线可以看成是两条射线，构成包含P点的角。
，如果某个M点最优，而且M点在另外两条直线的垂足分别为E,F,那么显然M必须是三角形EFP的费马点（因为不然，修改M为三角形EFP的费马点可以找到更优结果）。
由此，要么M为E,F,P三者之一，要么ME,MF,MP两两夹角都为120度。其中两两夹角都是120度必然要求两条射线夹角为60度，这时可以看出将M在射线PM上任意移动距离和不变，于是总可以将M移动到P点和P点重合。
于是可以得出
结论一：最优结果必然可以在M=P或M在两条直线之一上面取到。

如果M落在某条射线的反向延长线上，过M做角平分线的平行线可以交另外一条射线于M',容易看出M和M'关于这个角的外交平分线对称，而且M'和P落在外交平分线同侧，所以M'必然比M好，于是得出
结论二: 最优结果必然M=P或M落在两条射线上。
而在俩射线夹角为钝角时，根据E，F是否落在延长线上可以分别分成两类，容易看出两类都有M=P时不是最优的。
另外设两射线顶点为O(俩直线交点），那么OP分a度角为b,c两个角。做角的一条边关于另外一条边的对称图像，然后过P向对称图像做垂线或者直接向一条边做垂线（如果垂线段和另外一条边相交），得到M落在一条边上时距离和极值|OP|sin(b+2c)，|OP|sin(2b+c)，或|OP|sin(b), |OP|sin(c)等。所以只要对应的垂线段会和另外一条边相交，这时结果都比M,O重叠好（结果为|OP|)

mathe

对于角A大于90度情况时，如果M在OB上，可以将点P分成两种情况。
过O做OS垂直OA
i)P点在角SOB内部，显然如图

无论M在OB的那个位置，必然有距离和不小于P到OA的距离PH.
这种情况，M在OB的情况必然在M为PH和OB的交点时取到最优结果。
ii)P点子角SOA内部，那么如下图

由于RM+MH>RO,所以PM+MH>RO+PR>OR
于是这种情况必然M=O时取最优结果。
如果在结合M在OA上的情况，那么会将P的位置分成三个区域。

mathe

同样在a小于90度时，如果M在OB上，根据P关于OB的对称点P'的位置在OS的不同侧位置,分为两类
i)角AOP'小于90度

显然如图，最优距离和等于P'H，在M为P'H和OB交点时取到
ii)角AOP'大于90度，如图

PM+MH=P'M+MH=P'R+RM+MH>P'R+RO>P'O=PO
所以这种情况在M=O时最优

王守恩

lsr314 发表于 2020-5-28 23:44
当0

这不是我的强项，欢迎大家批评。
一，平行的2条直线将平面分成3个区域。
情况1：P点落在平行线内。
情况2：P点落在平行线外。
二，相交的2条直线将平面分成4个区域。
情况3：P点落在锐角区域。
情况4：P点落在直角区域。
情况5：P点落在钝角区域。

对情况5说一说我的想法。
过交点作2条直线的垂直线，则钝角区域分成左中右3块，
中间块的 M 点即交点，左右块的 M 点与垂直线平行。