正二十面体旋转问题

hejoseph

发个立体几何的问题


最上面这个复合多面体由两个正二十面体构成，由两个完全重合的正二十面体其中一个绕正二十面体中两个平行面的中心连线的轴旋转一定角度，使其中八组正三角形的面各自重合成八个平面内，求旋转角度（可用反三角函数）。

chyanog

\(\cos ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{5}-1}{8}\right)\approx 44.4775 \degree\)

chyanog

Mathematica代码

1. gc=PolyhedronData["Icosahedron","GraphicsComplex"];
   
2. Graphics3D[{gc, MapAt[#.RotationMatrix[ArcCos[(3 √5-1)/8 ], {√5-3,0,1}]&, gc, 1]}]

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hejoseph

结论正确，如果有推导过程就比较好

hujunhua

这是把一个正20面体放稳在桌面上的俯视图。
旋转轴就是过O点垂直于桌面的直线。
旋转角度是使得相邻的两个不同颜色的着色面所在平面相重合吧。
看得见的3对面，以及它们的对径面，加上顶面和底面，共是8对重合面。

重合时，虽然相邻三角形不相重合，但两者重心相重合。
把这个俯视图当平面图计算就行了。

hejoseph

hujunhua 发表于 2020-6-3 13:20
这是把一个正20面体放稳在桌面上的俯视图。
旋转轴就是过O点垂直于桌面的直线。
旋转角度是使得相邻的两 ...

用投影做的困难在于算不是平行于底面的那些面的量。
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =7100&pid=35784
这里有比较简单的方法

chyanog

用Mathematica暴算的

1. Clear["`*"];
   
2. pts=PolyhedronData["Icosahedron","Vertices"];
   
3. v=Mean[pts[[{2,7,8}]]-pts[[{1,5,6}]]];
   
4. Collect[Det@PadRight[Append[pts[[{7,9,11}]],RotationMatrix[θ,v].pts[[3]]],{4,4},1],_Cos|_Sin,RootReduce]
   
5. Solve[{%==0,0<θ<Pi/2},θ]//FullSimplify

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\(\theta \to 2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{3} \left(\sqrt{5}-2\right)\right)\)

hujunhua

可以画出5#那个图的对偶图——以顶点立在桌面上的正十二面体的俯视图来计算。

不妨设单位长度为`OA=OB=1`，则 `BC=φ` （黄金分割比）, `AE=\sqrt3, CD=\sqrt3φ`。由于`∠OBC=120°`，所以
\[OC^2=1+φ+φ^2=2\\\cos∠COD=1-\frac{CD^2}{2\cdot OC^2}=\frac{3\sqrt5-1}8\]