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[分享] 椭球面关于相离直线的极线

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发表于 2020-6-10 11:02:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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空间直角坐标系中,已知椭球面\(\,S\,\)的方程为\(\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\).
直线\(\,PQ\,\)与椭球面\(\,S\,\)相离,其中两点坐标分别为\(\,P(x_{\overset{\,}{1}},y_{\overset{\,}{1}},z_{\overset{\,}{1}})\,\),\(Q(x_{\overset{\,}{2}},y_{\overset{\,}{2}},z_{\overset{\,}{2}})\,\).
过直线\(\,PQ\,\)作椭球面的切平面,得到俩切平面与俩切点,俩切点的连线称作相离直线\(\,PQ\,\)基于椭球面的极线。
极线方程为:
\[ \left\{\begin{split}
\dfrac{x_ {\overset{\,}1}x}{a^2}+\dfrac{y_{\overset{\,}{1}}y}{b^2}+\dfrac{z_{\overset{\,}{1}}z}{c^2}=1\\
\dfrac{x_{\overset{\,}{2}}x}{a^2}+\dfrac{y_{\overset{\,}{2}}y}{b^2}+\dfrac{z_{\overset{\,}{2}}z}{c^2}=1
\end{split}\right. \]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-6-10 12:44:23 | 显示全部楼层
设切点为\(\,X_{\overset{\,}{1}}(\xi_{\overset{\,}{1}},\eta_{\overset{\,}{1}},\zeta_{\overset{\,}{1}})\,\),\(\,X_{\overset{\,}{2}}(\xi_{\overset{\,}{2}},\eta_{\overset{\,}{2}},\zeta_{\overset{\,}{2}})\,\),
可知\(\,\xi_{\overset{\,}{1}}\,\)与\(\,\xi_{\overset{\,}{2}}\,\)满足二次方程\(\,\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}\xi^2+\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}\xi+\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}=0\,\)
\begin{align*}
\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}&=c^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+b^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+a^2\Big(y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2\\
\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}&=2a^2\Big(c^2\big(y_{\overset{\,}{1}}-y_{\overset{\,}{2}}\big)\big(x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}\big)+b^2\big(z_{\overset{\,}{1}}-z_{\overset{\,}{2}}\big)\big(x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\big)\Big)\\
\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\xi}}]}\,}&=a^4\Big(c^2\big(y_{\overset{\,}{1}}-y_{\overset{\,}{2}}\big)^2+b^2\big(z_{\overset{\,}{1}}-z_{\overset{\,}{2}}\big)^2-\big(y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\big)^2\Big)
\end{align*}
可知\(\,\eta_{\overset{\,}{1}}\,\)与\(\,\eta_{\overset{\,}{2}}\,\)满足二次方程\(\,\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}\eta^2+\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}\eta+\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}=0\,\)
\begin{align*}
\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}&=c^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+b^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+a^2\Big(y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2\\
\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}&=2b^2\Big(c^2\big(x_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{2}}\big)\big(x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}\big)+a^2\big(z_{\overset{\,}{1}}-z_{\overset{\,}{2}}\big)\big(y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\big)\Big)\\
\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\eta}}]}\,}&=b^4\Big(c^2\big(x_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{2}}\big)^2+a^2\big(z_{\overset{\,}{1}}-z_{\overset{\,}{2}}\big)^2-\big(x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\big)^2\Big)
\end{align*}
可知\(\,\zeta_{\overset{\,}{1}}\,\)与\(\,\zeta_{\overset{\,}{2}}\,\)满足二次方程\(\,\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}\zeta^2+\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}\zeta+\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}=0\,\)
\begin{align*}
\alpha_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}&=c^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+b^2\Big(x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2+a^2\Big(y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}-y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}\Big)^2\\
\beta_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}&=2c^2\Big(b^2\big(x_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{2}}\big)\big(x_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}\big)+a^2\big(y_{\overset{\,}{1}}-y_{\overset{\,}{2}}\big)\big(y_{\overset{\,}{2}}z_{\overset{\,}{1}}-y_{\overset{\,}{1}}z_{\overset{\,}{2}}\big)\Big)\\
\gamma_{\overset{\,}{[{\tiny{\zeta}}]}\,}&=c^4\Big(b^2\big(x_{\overset{\,}{1}}-x_{\overset{\,}{2}}\big)^2+a^2\big(y_{\overset{\,}{1}}-y_{\overset{\,}{2}}\big)^2-\big(x_{\overset{\,}{1}}y_{\overset{\,}{2}}-x_{\overset{\,}{2}}y_{\overset{\,}{1}}\big)^2\Big)
\end{align*}
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发表于 2020-6-10 21:59:14 | 显示全部楼层
直线PQ一旦画出来,点P,Q就可以隐去,它的极线就由直线自身决定,与P,Q无关。
如果直线PQ与椭球面不是相离而是相交,也能定义同样代数方程的极线。
记俩交点为P',Q',那么椭球面在P'的切平面与在Q'点的切平面的交线即是。
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发表于 2020-6-11 06:31:19 | 显示全部楼层
过椭球面外部一点P可以作一圈与椭球面相切的直线,构成一个锥面,切点构成该锥面与椭球面的切线——一条平面二次曲线,其所在平面即称为点P关干椭球面的极平面。
P的极平面与Q的极平面的交线即是直线PQ关于椭球面的极线。
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发表于 2020-6-11 07:39:27 | 显示全部楼层
在三维射影几何中,有更一般的定义和表述。

二次曲面用一个4x4的对称矩阵表示,
点用一个4元列向量`x_i=(x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}, x_{i4})'`表示,
平面用一个4元行向量`y_i=(y_{i1}, y_{i2}, y_{i3}, y_{i4})`表示,
也有不区分行向量和列向量,点和平面统一用列向量表示的。
在区分使用的情况下,行与列之间的转置变换被理解为对偶变换。
点的对偶是平面。(在平面射影几何中,点的对偶是直线)。
两点`x_i=(x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}, x_{i4})'``(i=1,2)`的连线用一个4x2矩阵`[x_1,x_2]`表示。
类似地,两平面的交线用一个2x4矩阵表示。
所以直线的对偶还是直线。

已知二次曲面A,点`x_1, x_2`,平面`y_1, y_2`, 两点连线`x=[x_1,x_2]`, 两平面交线`y=[y_1,y_2]'`
一般地,`x_i'A`称为点`x_i`关于A的极平面,`Ay_i'`称为平面`y_i`关于A的极点。
`x'A,Ay'`称为直线`x,y`关于A的极线。
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