网格染色问题

hujunhua

黑格数=27的5个本原解，都是转置对称的。

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1	2	3	4	5

hujunhua

黑格数=28的8个本原解，1,4,6,7不对称，2，3为转置对称，5为双转置+中心对称，8为旋转对称。

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1-不对称	2-转置对称	3-转置对称	4-不对称
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5-双转置+中心对称	6-不对称	7-不对称	8-旋转对称

感觉2与3除了中心4格具有旋转90度的关系，其余部分相同。分析发现这不是偶然现象。
中心四格`\begin{split}A\ B\\C\ D\end{split}`的横边AB（或者 CD)的两格总是同时属于或者同时不属于某个4×5矩形，
竖边AC（或者BD）的两格总是同时属于或者同时不属于某个5×4矩形.
如果 A=D≠B=C, 即中心为`\begin{split}■\ □\\□\ ■\end{split}`或者`\begin{split}□\ ■\\■\ □\end{split}`，那么总有横边之和=竖边之和，
故拥有这种两种中心之一的解，中心旋转90度仍然是一个合格的解。
我们且称之为中心旋转变换，两个这样互变衍通的解称为中心旋转等价。

hujunhua

黑格数=29的8个本原解，2不对称(即3#最早给出的那个)，其它为转置对称 。

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1	2	3	4
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5	6	7	8

其中3与4中心旋转等价，7与8也是。

hujunhua

黑格数=30的4个本原解，是双转置对称的，故又是中心对称的。
其中1与2中心旋转等价，3与4也是。

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1	2	3	4

hujunhua

12#的第8个及其镜像是唯二的90度旋转对称解，应该可以手工求解。
⬜⬜⬛⬛⬜⬜⬛⬜
⬛⬛⬜⬜⬛⬜⬛⬜
⬜⬜⬜⬛⬛⬜⬜⬛
⬜⬛⬛⬜⬜⬛⬜⬛
⬛⬜⬛⬜⬜⬛⬛⬜
⬛⬜⬜⬛⬛⬜⬜⬜
⬜⬛⬜⬛⬜⬜⬛⬛
⬜⬛⬜⬜⬛⬛⬜⬜
90度旋转对称，黑格数是4的倍数，猜想黑格数=28是合理的。
每个角聚的4×4正方形是同形的，黑格数=7。
中心4×4正方形的黑格数为4的倍数，显然必为8，有2种可能构形（还有2种易淘汰）
⬜⬛⬛⬜    ⬛⬜⬜⬛  
⬛⬜⬜⬛    ⬜⬛⬛⬜
⬛⬜⬜⬛    ⬜⬛⬛⬜
⬜⬛⬛⬜    ⬛⬜⬜⬛
从这里出发应该可解。

mathe

7 个黑格比较好，只有两个解:
⬜⬛⬜⬜⬜⬛⬛⬜    ⬜⬛⬜⬜⬜⬛⬛⬜
⬛⬜⬛⬜⬜⬜⬛⬛    ⬛⬜⬛⬜⬜⬜⬛⬛
⬜⬛⬜⬛⬜⬜⬜⬛    ⬜⬛⬜⬛⬜⬜⬜⬛
⬜⬜⬛⬜⬛⬜⬜⬜    ⬜⬜⬛⬛⬜⬜⬜⬜
⬜⬜⬜⬛⬜⬛⬜⬜    ⬜⬜⬜⬜⬛⬛⬜⬜
⬛⬜⬜⬜⬛⬜⬛⬜    ⬛⬜⬜⬜⬛⬜⬛⬜
⬛⬛⬜⬜⬜⬛⬜⬛    ⬛⬛⬜⬜⬜⬛⬜⬛
⬜⬛⬛⬜⬜⬜⬛⬜    ⬜⬛⬛⬜⬜⬜⬛⬜

并且这两解还是12#所说的中心旋转等价的。

mathe

黑格数目	解总数目	本原解数目
1	0	0
2	0	0
3	0	0
4	120	23
5	28	9
6	0	0
7	4	2
8	2062	293
9	108	25
10	498	94

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2020-7-14 13:32 上传

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hujunhua

6个黑格居然无解，不知是何道理，可否可读证明？

hujunhua

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1-双转置对称	2-旋转对称	3-转置对称
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4-不对称	5-双转置对称	6--双转置对称
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7-转置对称	8-双转置对称	9-双转置对称

mathe给出的上述5个黑格的解，除了图5（为图6的中心旋转变换)和图8（为图9的中心旋转变换），其它各图的构造方法为：保持同线（行或列）黑格间距=4（即隔3个白格）.

hujunhua

4个黑格的解，构造方法为：保持同线（行或列）黑格间距=5（即隔4个白格）.
由于每条线的长度为8, 因此每线至少有1个黑格,最多2个黑格。
显然，如果1个黑格位于中心田字内，那么它没有同线黑格。所以即使中心变换也不会破坏上述规则。