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[提问] 一个严格单调递增、连续、有界的函数在任何一个区间上都有不可导点

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发表于 2020-7-13 02:34:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 manthanein 于 2020-7-13 03:38 编辑

给定实值函数\(y=f(x)\),,满足如下条件:
(1)函数定义域为\([0,+\infty)\)且\(f(0)=0\)
(2)对于正数\(a\),有\(f(a) \gt 0\)
(3)存在实数\(K\),使得对于任意实数\(A\)均有\(f(A)\lt K\),且\(\D \lim_{x \to +\infty} f(x)=K\)
(4)函数在定义域上连续,且严格单调递增。

问:这个函数能不能在任何一个区间上都有不可导点?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-13 08:37:51 | 显示全部楼层
可以几乎处处不可导
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-13 08:57:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2020-7-13 09:01 编辑
mathe 发表于 2020-7-13 08:37
可以几乎处处不可导

我智障了
刚刚在怀疑间断点可数怎么做到处处不可导

然后想到,有理数排序,第i个有理数带一个$2^{-i}K$的gap,可以在有理数点不可导

点评

单调函数是可积的,于是这个函数的积分是连续的,而且在无理点都可导,但是有理点不可导  发表于 2020-7-14 13:22
智障+1……想到有理数点处处不可导忘记无理数点仍然可导了……果然太久不碰数学分析,东西都还给老师了  发表于 2020-7-13 20:47
这是分析中典型的例子,利用康托集构造的  发表于 2020-7-13 14:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-13 16:23:25 | 显示全部楼层
是我记错了,应该是存在导数几乎处处为零的严格递增函数。
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