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[求助] 数论线性方程求解问题

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发表于 2020-7-19 22:02:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 jack2020 于 2020-7-19 22:02 编辑

书籍《初等数论及其应用》第5版,对3.7节习题19的答案不是太懂,下图是习题及答案截图:
3.jpg
需要要注意的是,涉及的数据都是整数,且a和b互质,即二者最大公约数是1
不明白的地方:
1、“has area a+b”,这4个点构成的四边形是a+b是怎么得出的呢?
2、然后由皮克定理得出四边形内部方格点的数量是a+b-1,这个套皮克公式能出来,后边就直接说“Every point corresponds……”直接就给结论了,这里也不明白
希望朋友能指教一二
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-20 13:36:23 | 显示全部楼层
题目中还有条件(a,b)=1中文题目中没有列出,最好内容完整一些,不然比较容易让人迷惑。
首先显然对于ax+bx=n>=ab的情况存在非负解比较显然,这里没有给出说明。
所以现在只需要证明对于一切满足$(a-1)(b-1)=ab-a-b+1\le n \lt ab$的n都有非复解就可以了
于是上面提到的四边形内部正好包含了所有这样的非负解,而且显然对于每个不同的n,都最多只有一个解,这一步可以简单的反证。
于是我们只需要证明这个四边形内部包含的整数点数目为a+b-1就可以解决这个问题了。
至于平面上多边形的面积,你可以看成两个三角形,求它们的面积和,三角形给定三个顶点的坐标就可以用行列是表示出三角形面积

也可以有推广的多边形面积公式,对于按逆时针顺序的$(x_1,y_1),(x_2,y_2),....,(x_n,y_n)$围成多边形的面积为$\frac 1 2 \sum (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
于是对于本题,$(b,0), (0,a), (-1,a-1), (b-1,-1)$四点围成的面积就是$\frac 1 2 (ba-0+0+a+1-(a-1)(b-1)+0+b)=a+b$
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 楼主| 发表于 2020-7-21 20:35:41 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-7-20 13:36
题目中还有条件(a,b)=1中文题目中没有列出,最好内容完整一些,不然比较容易让人迷惑。
首先显然对于ax+bx ...

谢谢解答,明白了
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