数论线性方程求解问题

jack2020

书籍《初等数论及其应用》第5版，对3.7节习题19的答案不是太懂，下图是习题及答案截图：

需要要注意的是，涉及的数据都是整数，且a和b互质，即二者最大公约数是1
不明白的地方：
1、“has area a+b”，这4个点构成的四边形是a+b是怎么得出的呢？
2、然后由皮克定理得出四边形内部方格点的数量是a+b-1，这个套皮克公式能出来，后边就直接说“Every point corresponds……”直接就给结论了，这里也不明白
希望朋友能指教一二

mathe

题目中还有条件(a,b)=1中文题目中没有列出，最好内容完整一些，不然比较容易让人迷惑。
首先显然对于ax+bx=n>=ab的情况存在非负解比较显然，这里没有给出说明。
所以现在只需要证明对于一切满足$(a-1)(b-1)=ab-a-b+1\le n \lt ab$的n都有非复解就可以了
于是上面提到的四边形内部正好包含了所有这样的非负解，而且显然对于每个不同的n,都最多只有一个解，这一步可以简单的反证。
于是我们只需要证明这个四边形内部包含的整数点数目为a+b-1就可以解决这个问题了。
至于平面上多边形的面积，你可以看成两个三角形，求它们的面积和，三角形给定三个顶点的坐标就可以用行列是表示出三角形面积

也可以有推广的多边形面积公式，对于按逆时针顺序的$(x_1,y_1),(x_2,y_2),....,(x_n,y_n)$围成多边形的面积为$\frac 1 2 \sum (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
于是对于本题，$(b,0), (0,a), (-1,a-1), (b-1,-1)$四点围成的面积就是$\frac 1 2 (ba-0+0+a+1-(a-1)(b-1)+0+b)=a+b$

jack2020

mathe 发表于 2020-7-20 13:36
题目中还有条件(a,b)=1中文题目中没有列出，最好内容完整一些，不然比较容易让人迷惑。
首先显然对于ax+bx ...

谢谢解答，明白了