y=f(x)使得f(kx)/x的值与x无关

manthanein · 发表于 2020-8-9 19:47:56

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我这么想：令$\D y=\frac{f(kx)}{x}$，$\D \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{df(kx)}{dx} \cdot x-f(kx)}{x^2}=\frac{kx\frac{df}{dx}-f(kx)}{x^2}$
所以导数为0，有：$\D \frac{df}{dx}=\frac{f(kx)}{kx}$

虽然这样会多出可微的条件。这个函数一定是多项式函数吗？

mathe · 发表于 2020-8-9 20:12:38

设$g(k)=\frac{f(k x)}{x}$,那么$f(kx)=g(k) x$,或者$f(x)= \frac{g(k)}{k} x$

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