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楼主: manthanein

[原创] 重新证明lim{x→0}sin(x)/x=1

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 楼主| 发表于 2021-11-10 01:11:30 | 显示全部楼层
下面仿照老办法,构造半径两边为OA、OB的扇形,\(OA=OB=r\),圆心角\(\angle AOB=\theta\),因而扇形面积为\(S=\D pr^2\frac{\theta}{2\pi} \leq  \frac{1}{2} r^2\theta\)。同时三角形ABO的面积为\(\D \frac{1}{2} r^2\sin\theta\),所以只要\(\theta \in (0,\pi)\),\(\sin\theta \lt \theta\),\(\D \frac{\sin\theta}{\theta} \lt 1\)。

另一方面,
\(\D \frac{1-\cos\theta}{\theta}=\frac{1-\left(\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}{\theta}=\frac{\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\frac{\theta}{2}}\lt\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \lt \frac{\theta}{2}\)

同时,考虑\(\D \frac{\pi}{2} \gt a \gt b \gt 0\)
\(\D \frac{\sin a-\sin b}{a-b}=\frac{\D 2\sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}}}{a-b}=\frac{\D \sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}}}{\frac{a-b}{2}}\lt \cos{\frac{a+b}{2}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-10 02:19:40 | 显示全部楼层
由切线,\(\D \frac{1}{2}r^2\tan{\theta}\gt pr^2\frac{\theta}{2\pi} \implies \frac{1}{2}\tan{\theta}\gt p\frac{\theta}{2\pi}\implies \pi\tan{\theta}\gt p\theta \implies\theta \lt \frac{\pi}{p}\tan\theta\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-12 22:10:36 | 显示全部楼层
\(\D n\sin{\frac{\pi}{n}}=\frac{\D 2n\sin{\frac{\pi}{n}}}{2}=\frac{\D 4n\sin\frac{\pi}{2n}\cos\frac{\pi}{2n}}{2}=2n\sin\frac{\pi}{2n}\cos\frac{\pi}{2n}\)

所以\(\D 2n\sin\frac{\pi}{2n}=\frac{n\sin{\frac{\pi}{n}}}{\cos\frac{\pi}{2n}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-13 12:16:49 | 显示全部楼层
\(\D 2n\tan\frac{\pi}{2n}=2n\frac{\D \sin\frac{\pi}{n}}{\D 1+\cos\frac{\pi}{n}}=2n\frac{\D \cos\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}+\tan\frac{\pi}{n}-\tan\frac{\pi}{n}}{\D 1+\cos\frac{\pi}{n}}=2n(\tan\frac{\pi}{n}-\frac{\tan\frac{\pi}{n}}{1+\cos\frac{\pi}{n}})=2n\tan\frac{\pi}{n}(1-\frac{1}{1+\cos\frac{\pi}{n}})\)
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