相同日历

manthanein

一本公历日历包含12页，每页包含当月的公历日期和对应星期，例如下图所示。

如果公元 `x` 年的日历可以在公元 `y` 年继续使用（仅仅更改年份），求公式`y=f(x,n) ,（x \gt 1582, n≥1)`。

mathe

2800是周期

风云剑

不清楚题目是从数学角度还是研究历法。我看到了1582这个数字，那年是修改历法的。
历法上这个闰年就很复杂了，4年一润，百年不润，400年加润，在这之后还有3200年的调整。加上地球自转、公转都会随着时间逐渐变化，这个调整还会继续。
不管什么公式，适用范围都是有限的，不可能做到任意。

manthanein

风云剑 发表于 2020-8-15 21:17
不清楚题目是从数学角度还是研究历法。我看到了1582这个数字，那年是修改历法的。
历法上这个闰年就很复杂 ...

目前公历没有修改的，我只是考虑1582年改革后的情况。
2楼说令y=x+400就可以了。

数论爱好者

2020年与2048年，2076年，1908年，1936年，1964年，1992年整年的星期是完全相同的，每28年为一个完整的周期。

数论爱好者

又验证了一个年份，2019年与2047年，2075年星期数都相同，明明是28年为一个周期，可又偏偏又冒出2086年，2097年与2019年的星期数相同，打破了28年为一个周期的规律。是不是2097年与2103年的星期数一致呢？有待验证。

hujunhua

数论爱好者 发表于 2020-8-29 13:38
又验证了一个年份，2019年与2047年，2075年星期数都相同，明明是28年为一个周期，可又偏偏又冒出2086年，20 ...

两个年份的日历相同当且仅当2月份日历相同。
2097年与2103年的日历不同。
记 x 年 2月1日的星期为 w(x), 有
w(x+1) =  w(x)+1(mod 7), 当 x 年为平年
w(x+1) =  w(x)+2(mod 7), 当 x 年为闰年
因此可把平年标记为1，闰年标记为2，比如从第 x 年开始的连续7年为平闰平平平平平，则标记为1211111。
不妨假定w(x) = 0（星期天），这连续7年的w(x+i)就是0134560，即w(x+6) = w(x)，周期 T = 6.
各种情况的w(x+T) = w(x)的最小周期 T 穷举如下（红色1为平年世纪年）：
一、不含红色 1 的，按第1个2（闰年）的位置排序：
id1、2111211 1211121112111 211121112,  T=28
         02345012356013456123460124560
id2、12111 2111211,   T=11
         013456123460
id3、1121112111 21,   T=11
         012456023450
id4、1112111,  T= 6
         0123560
二、含有红色 1 的，按红色 1 的位置排序
red1、1111211, 反序为red7: 1121111, T=6
           0123460                       0124560
red2、1111121, 反序为red6: 1211111, T=6
           0123450                       0134560
red3、11111 12111211, 反序red11: 112111211 1111,  T=12
           0123456123460,                    0124560234560
red4、1111 111211121, 反序red10: 1211121111 111,  T=12
           0123456023450,                    0134561234560
red5、2111111 121112,  反序red9: 2111211 111112, T=12
           0234560124560,                    0234501234560
red13、2111211 12111111121 11211121112111211 121112,  T=40
             02345012356012345012356013456123460124560
red29、2111211 1211121112111 211121111111 211121112,  T=40
             02345012356013456123460124560123460124560
red17、2111211 1211121111111 211121112111 211121112,  T=40
             02345012356013456012356013456123460124560
red25、211121112 11121112111 211111112111 211121112,  T=40
             02345012356013456123460123456123460124560
red21、2111211 1211121112111111121112111 211121112,  T=40
             02345012356013456123456013456123460124560

就这19种情况吧，五种周期。其它red#为id#与上列red#的合成。

数论爱好者

看来你做一番系统的研究，我不懂你的五种周期。
在我的研究里，总共14种日历，平年和闰年各7种，由2月1日和3月1日的星期序决定。
平年，2月1日与3月1日的星期序相等
闰年，2月1日与3月1日的星期序相邻。
在1901年至2100年这两百年，14种日历的周期都是28年，周期表如下。

闰年2月1日星期一	1904	1932	1960	1988	2016	2044	2072
闰年2月1日星期六	1908	1936	1964	1992	2020	2048	2076
闰年2月1日星期四	1912	1940	1968	1996	2024	2052	2080
闰年2月1日星期二	1916	1944	1972	2000	2028	2056	2084
闰年2月1日星期日	1920	1948	1976	2004	2032	2060	2088
闰年2月1日星期五	1924	1952	1980	2008	2036	2064	2092
闰年2月1日星期三	1928	1956	1984	2012	2040	2068	2096

平年 2月1日星期一	1909	1937	1965	1993	2021	2049	2077
	1915	1943	1971	1999	2027	2055	2083
	1926	1954	1982	2010	2038	2066	2094
平年 2月1日星期二	1910	1938	1966	1994	2022	2050	2078
	1921	1949	1977	2005	2033	2061	2089
	1927	1955	1983	2011	2039	2067	2095
平年 2月1日星期三	1905	1933	1961	1989	2017	2045	2073
	1911	1939	1967	1995	2023	2051	2079
	1922	1950	1978	2006	2034	2062	2090
平年 2月1日星期四	1906	1934	1962	1990	2018	2046	2074
	1917	1945	1973	2001	2029	2057	2085
	1923	1951	1979	2007	2035	2063	2091
平年 2月1日星期五	1901	1929	1957	1985	2013	2041	2069	2097
	1907	1935	1963	1991	2019	2047	2075
	1918	1946	1974	2002	2030	2058	2086
平年 2月1日星期六	1902	1930	1958	1986	2014	2042	2070	2098
	1913	1941	1969	1997	2025	2053	2081
	1919	1947	1975	2003	2031	2059	2087
平年 2月1日星期日	1903	1931	1959	1987	2015	2043	2071	2099
	1914	1942	1970	1998	2026	2054	2082
	1920	1948	1976	2004	2032	2060	2088

1901年至2100年（不含），共以上14种日历，超出的年份部分符合这些周期表，但不全部适用，都是世纪平年搞的鬼。
1900和2100都是世纪平年，我的研究区段1901~2099刚好在两个世纪平年之间。
可能是2800年为一个完整的周期。

hujunhua

百年以内最多只有一个世纪平年，即最多只有一个红1，所以除了red7+red1合成1121111111211，其它双元合成最多含有一个red#.
一、无红1的双元合成
union1: id2+id3=12111211121112111211121，T=22, 蓝色1为叠合点。
            反过来，id3+id2不能合成，因为叠合点附近为212，不合闰年周期4。以下皆然。
union2: id3+id4=112111211121112111，T=17
union3: id4+id2=111211121112111211，T=17。显然是union2的反序。
union4: id1+id1, T=56.
通过以上 4 例熟悉了双元合成规则，就不难进行三元和多元合成，例如: T(id2+id3+id4)=28, T(id1+id1+id1)=84.
二、其它 red#的合成
7#穷举各种序列时，指出漏网的red#皆为合成，实际情况如下。
red8 = 1112111111121 =  id4+red2，T=12.
red12 =1112111211111=  id4+red6，T=12.
red14 =121112111211111112111211=id2+red3,  T=23
red15 =112111211121111111211121=id3+red4,  T=23
red16 =1112111211121111111=id4+red10,  T=18
red18 =121112111211121111=id2+red3,  T=17
red19 =112111211121112111111121=id3+id4+red2,  T=23
red20 =111211121112111211111112111211=id4+id2+red3,  T=29
red22 =121112111211121112111111=id11+red11,  T=23
red23 =112111211121112111211111=id3+id4+red6,  T=23
red24 =111211121112111211121111=id4+id2+red7,  T=23
red26 =12111211121112111211121111111211121=id2+id3+red4,  T=34
red27 =112111211121112111211121111111=id3+id4+red10,  T=29
red28 =111211121112111211121112111111=id4+id2+red11,  T=29

hujunhua

red30 =12111211121112111211121112111111121=id2+id3+id4+red2, T=34
red31 =11211121112111211121112111211111112111211=id3+id4+id2+red3,  T=40
red32 =11121112111211121112111211121111111211121=id4+id2+id3+red4,  T=40
red33 =21112111211121112111211121112111111121112=id1+red5,  T=40
red37 =21112111211121112111211121112111211111112=id1+red9,  T=40
red41 =211121112111211121112111211121112111211111112111211121112111211121112=id1+red13,  T=68
red45 =id1+red17,  T=68
red49 =id1+red21,  T=68
red53 =id1+red25,  T=68
red57 =id1+red29,  T=68
red61 =id1+id1+red5,  T=68
red65 =id1+id1+red9,  T=68
red69 =id1+id1+red13,  T=96
red73 =id1+id1+red17,  T=96
red77 =id1+id1+red21,  T=96
red81 =id1+id1+red25,  T=96
red85 =id1+id1+red29,  T=96
red89 =id1+id1+id1+red5,  T=96
red93 =id1+id1+id1+red9,  T=96