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发表于 2020-9-4 18:01:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有两个自然数a,b,两数都可进行如下循环操作a=2*a+xi,b=2*b+yi,每次操作xi,yi可任意取{-1,0,1}其中之一。
问题:1、经过有限次操作,两数能相邻的充要条件是什么?
         2、若a=11,b=17,能否经过有限次操作使得最终两数相邻?
         
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-4 18:05:40 | 显示全部楼层
例如 a=3, b=10
则有a=2*3+0=6,a=2*6-1=11  即 a 操作2次,b操作0次,达到两数相邻。
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发表于 2020-9-4 20:05:28 | 显示全部楼层
假设$a<b$,必要条件是存在整数$t$,满足$(b-1)/(a+1)<2^t<(b+1)/(a-1)$,由于$a=11,b=17$不满足这个条件,所以不可能。
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 楼主| 发表于 2020-9-4 21:49:51 | 显示全部楼层

这个结论是如何得出来的呢?
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发表于 2020-9-5 12:01:49 | 显示全部楼层
最开始,A={a}, B={b}
集合迭代扩张,S=Flatten@{2S-1, 2S, 2S+1}
从 S={s} 开始,看看扩张 n 次的结果
第1次扩张得到:S={2s-1, 2s, 2s+1}
第2次扩张得到:S={4s-3, 4s-2, 4s-1, 4s, 4s+1, 4s+2, 4s+3}
第3次扩张得到:S={8s-7, 8s-6, …,8s, …, 8s+6, 8s+7}
……
第k次扩张得到:`S=\{2^k s-2^k+1, …, 2^k s, …,2^k s+2^k-1\}`
要使a, b经过迭代能够相邻,
即要    First@B-1≤Last@A   且First@A-1≤Last@B
假定这样A, B分别扩张了m, n次, 上述不等式即\[\begin{cases}
2^nb-2^n&≤2^ma+2^m-1\\
2^ma-2^m&≤2^nb+2^n-1
\end{cases}\]不妨假定 a≤b,则必有  m≥n, 设 t=m-n。 解得\[
\frac{b-1}{a+1}≤2^t-\frac1{2^n(a+1)}≤2^t+\frac1{2^n(a-1)}≤\frac{b+1}{a-1}
\]这是充要条件,但不够简明,可以简化得到3#的那个必要条件。

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