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[转载] 神奇的定积分

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发表于 2020-9-7 20:18:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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印象中,这题目以前发过一次:
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin t }{t} \, dt =\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \, dt=\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \, dt=\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{301}\right)}{\frac{t}{301}} ...\frac{\sin \left(\frac{t}{1401}\right)}{\frac{t}{1401}}\, dt=\frac{\pi}{2}\]

所以 是不是可以 推广,无限连乘下去,对于任意的自然数$n$都是成立的?即\[\int_0^{\infty } \prod_{m=0}^{n}\frac{\sin \left(\frac{t}{100m+1}\right)}{\frac{t}{100m+1}}\, dt=\frac{\pi}{2}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-8 20:14:09 | 显示全部楼层
是这两个帖子吗?

[讨论] 一种类型的积分
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3993
[求助] 积分求解
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=5528

Borwein integral?

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