神奇的定积分

wayne

印象中，这题目以前发过一次：
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin t }{t} \, dt =\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \, dt=\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \, dt=\frac{\pi}{2}\]
\[\int_0^{\infty } \frac{\sin (t)}{t} \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}}  \frac{\sin \left(\frac{t}{301}\right)}{\frac{t}{301}} ...\frac{\sin \left(\frac{t}{1401}\right)}{\frac{t}{1401}}\, dt=\frac{\pi}{2}\]

所以 是不是可以 推广，无限连乘下去，对于任意的自然数$n$都是成立的？即\[\int_0^{\infty } \prod_{m=0}^{n}\frac{\sin \left(\frac{t}{100m+1}\right)}{\frac{t}{100m+1}}\, dt=\frac{\pi}{2}\]

葡萄糖

是这两个帖子吗？

[讨论] 一种类型的积分
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3993
[求助] 积分求解
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=5528

Borwein integral?

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2020-9-8 20:14
是这两个帖子吗？

[讨论] 一种类型的积分

在n很大的时候，广义积分会不等于二分之派
https://johncarlosbaez.wordpress ... at-eventually-fail/

mathematica

又是从知乎上看到的

xiaoshuchong

对于积分$\int_{0}^{\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(a_{k}x\right)}{a_{k}x}dx$而言，
其小于$\pi/2$的条件是$a_{0}<\sum_{k=1}^{n}a_{k}$.
在本题中，$a_{k}=\frac{1}{100k+1}$, 我们粗略地估计一下n的大小
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{100k+1}\approx\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{100k}>1\]
即$n\approx e^{100}~10^{43}$

参考资料
Borwein integrals, https://dec41.user.srcf.net/exp/borwein/borwein.pdf