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[讨论] n sin x + sin nx的最大值有什么规律?

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发表于 2020-9-10 10:59:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
如题,求$n \sin x + \sin nx$的最大值及其对应的$x$随着$n$的变化规律,$x\in[0,2\pi]$。

$n=2$时很容易解决,在$x=\frac{\pi}{3}$取到最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

$n=4k+1$时也很简单,在$x=\frac{\pi}{2}$取到最大值$n+1$。

剩下的情况貌似都比较复杂了,有没有一般的分析流程。
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发表于 2020-9-10 12:01:35 | 显示全部楼层
求导然后和差化积,剩下的就是有限个值的对比:
$(n±1)/2x=pi/2+kpi$
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 楼主| 发表于 2020-9-10 12:10:55 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-9-10 12:01
求导然后和差化积,剩下的就是有限个值的对比:
$(n±1)/2x=pi/2+kpi$


试了一下,确实比想象中简单。

求导:
$$f'(x) = n(\cos x + \cos nx)$$
所以重点是解$\cos x + \cos nx=0$,引入欧拉公式$2\cos x = e^{ix}+e^{-ix}$,得到
$$0 = e^{ix} + e^{-ix} + e^{nix} + e^{-nix}$$
整理得
$$0=(e^{i(n+1)x}+1)(e^{i(n-1)x}+1)$$
根据$e^{i\pi}+1=0$,所以
$$x=\frac{\pi + 2k\pi}{n-1}\quad\text{或}\quad x=\frac{\pi + 2k\pi}{n+1}$$
这是$f(x)$的所有驻点的位置,我们要从中挑出最大值点。

结合图像,我们可以得到$f(x)$最大值点需要满足的两点性质:
1、它是一个极大值点;
2、由于$n\sin x$是主项,$\sin x$在$x=\pi/2$取到最大值,所以它是最靠近$x=\pi/2$的极大值点。


所以,我们需要将\(\left\{\frac{\pi + 2k\pi}{n-1}\right\} \cup\left\{\frac{\pi + 2k\pi}{n+1}\right\}\)从小到大排序($k=0,1,2,...$),取最接近$\pi/2$的第奇数项(因为可以证明第1项是一个极大值点,所以极大值点必然是奇数项,此断言在$(0,\pi)$是成立的),就是最大值点所在位置了。
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发表于 2020-9-10 20:15:08 | 显示全部楼层
直接把极值点代入进去,就是$n sin(x) +sin(nx) =(n\pm1)sinx = (n\pm1)sin(\frac{2k+1}{n\pm 1}\pi)  $ 。 给定$n>1$,按4取模,分别分析得知,$n>1, (n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$恒成立,
所以最大值就是在 $n>1, x= \frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}$取得,即是$(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right)$,再来调整$k$,使得值最大,于是$k = [\frac{n-1}{4}]$,$[]$表示圆整,四舍五入,取最近的整数。
一句话总结,最终就是$n>1, n sin(x) + sin(nx) $的最大值是 $(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2  [\frac{n-1}{4}]+1)}{n+1}\right)$,在$x= \frac{\pi  (2 [\frac{n-1}{4}]+1)}{n+1}$取得。
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发表于 2020-9-11 13:26:36 | 显示全部楼层
画了个图:
  1. data=Table[{RandomColor[],i},{i,Union[RandomInteger[{1,20},10]]}];
  2. Plot[Evaluate[n Sin[x]+Sin[n x]/.n->data[[All,2]]],{x,0,Pi},
  3. Epilog->{Thickness[.01],PointSize[.015],Table[{t[[1]],n=t[[2]];p={(2Round[(n-1)/4]+1)/(n+1) Pi,(n+1)Sin[(2Round[(n-1)/4]+1)/(n+1) Pi]};Point[p],Text[{n,N[p]},p+{1,3}/7]},{t,data}]},
  4. PlotStyle->data[[All,1]]]
复制代码

111.png
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 楼主| 发表于 2020-9-14 17:05:05 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-10 20:15
直接把极值点代入进去,就是$n sin(x) +sin(nx) =(n\pm1)sinx = (n\pm1)sin(\frac{2k+1}{n\pm 1}\pi)  $ 。 ...


$n>1, (n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$
这步怎么分析的呢


===== 补充求导证明 =====

不过我发现可以通过求导证明 $h(x) = x \sin \frac{a}{x}$是单调递增的($a > 0, a/x \in [0, pi]$)
$$h'(x)=\sin \frac{a}{x} - \frac{a}{x} \cos \frac{a}{x}$$
记$t=a/x$,然后
$$(\sin t - t \cos t)'=t\sin t > 0$$
所以$h'(x) \geq 0$,即$h(x)$单调递增。

点评

@wayne 不过我发现也可以直接求导证明。  发表于 2020-9-14 17:24
@wayne 没理解啊(捂脸)  发表于 2020-9-14 17:21
对n关于4取模分析,分子只能取0,1,2,3,分母可以很大  发表于 2020-9-14 17:13
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发表于 2020-9-14 17:36:20 | 显示全部楼层
严格来说,其实是要证明 $n>1, max((n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) )> max((n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right))$,这里面的$n$是定值,$k$是可变的,然后我们对$n$按照4取模,于是可以分别求出max,发现都恒成立
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 楼主| 发表于 2020-9-14 22:42:54 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-14 17:36
严格来说,其实是要证明 $n>1, max((n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) )> max((n-1) \sin  ...

不需要这样子吧,我们只需要在$[0, \pi]$讨论,而如果$\frac{(2k+1)\pi}{n-1} < \pi$,那么一定有$\frac{(2k+1)\pi}{n+1} < \pi$,而$(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$,这说明$\frac{(2k+1)\pi}{n-1}$处不可能成为最大值(可能是某个极大值,但不可能是最大值)。

点评

@wayne 反证法,如果对于某个k来说,$x=(2k+1)\pi/(n-1)$是最大值,那么$x=(2k+1)\pi/(n+1)$比它更大,矛盾。  发表于 6 天前
但是此k非彼k  发表于 2020-9-14 23:47
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