n sin x + sin nx的最大值有什么规律？

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如题，求$n \sin x + \sin nx$的最大值及其对应的$x$随着$n$的变化规律，$x\in[0,2\pi]$。

$n=2$时很容易解决，在$x=\frac{\pi}{3}$取到最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

$n=4k+1$时也很简单，在$x=\frac{\pi}{2}$取到最大值$n+1$。

剩下的情况貌似都比较复杂了，有没有一般的分析流程。

lsr314

求导然后和差化积，剩下的就是有限个值的对比：
$(n±1)/2x=pi/2+kpi$

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lsr314 发表于 2020-9-10 12:01
求导然后和差化积，剩下的就是有限个值的对比：
$(n±1)/2x=pi/2+kpi$

试了一下，确实比想象中简单。

求导：
$$f'(x) = n(\cos x + \cos nx)$$
所以重点是解$\cos x + \cos nx=0$，引入欧拉公式$2\cos x = e^{ix}+e^{-ix}$，得到
$$0 = e^{ix} + e^{-ix} + e^{nix} + e^{-nix}$$
整理得
$$0=(e^{i(n+1)x}+1)(e^{i(n-1)x}+1)$$
根据$e^{i\pi}+1=0$，所以
$$x=\frac{\pi + 2k\pi}{n-1}\quad\text{或}\quad x=\frac{\pi + 2k\pi}{n+1}$$
这是$f(x)$的所有驻点的位置，我们要从中挑出最大值点。

结合图像，我们可以得到$f(x)$最大值点需要满足的两点性质：

1、它是一个极大值点；
2、由于$n\sin x$是主项，$\sin x$在$x=\pi/2$取到最大值，所以它是最靠近$x=\pi/2$的极大值点。

所以，我们需要将\(\left\{\frac{\pi + 2k\pi}{n-1}\right\} \cup\left\{\frac{\pi + 2k\pi}{n+1}\right\}\)从小到大排序（$k=0,1,2,...$），取最接近$\pi/2$的第奇数项（因为可以证明第1项是一个极大值点，所以极大值点必然是奇数项，此断言在$(0,\pi)$是成立的），就是最大值点所在位置了。

wayne

直接把极值点代入进去，就是$n sin(x) +sin(nx) =(n\pm1)sinx = (n\pm1)sin(\frac{2k+1}{n\pm 1}\pi)  $ 。 给定$n>1$，按4取模，分别分析得知，$n>1, (n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$恒成立，
所以最大值就是在 $n>1, x= \frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}$取得，即是$(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right)$,再来调整$k$,使得值最大，于是$k = [\frac{n-1}{4}]$,$[]$表示圆整，四舍五入，取最近的整数。
一句话总结，最终就是$n>1, n sin(x) + sin(nx) $的最大值是 $(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2  [\frac{n-1}{4}]+1)}{n+1}\right)$，在$x= \frac{\pi  (2 [\frac{n-1}{4}]+1)}{n+1}$取得。

wayne

画了个图：

1. data=Table[{RandomColor[],i},{i,Union[RandomInteger[{1,20},10]]}];
   
2. Plot[Evaluate[n Sin[x]+Sin[n x]/.n->data[[All,2]]],{x,0,Pi},
   
3. Epilog->{Thickness[.01],PointSize[.015],Table[{t[[1]],n=t[[2]];p={(2Round[(n-1)/4]+1)/(n+1) Pi,(n+1)Sin[(2Round[(n-1)/4]+1)/(n+1) Pi]};Point[p],Text[{n,N[p]},p+{1,3}/7]},{t,data}]},
   
4. PlotStyle->data[[All,1]]]

复制代码

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wayne 发表于 2020-9-10 20:15
直接把极值点代入进去，就是$n sin(x) +sin(nx) =(n\pm1)sinx = (n\pm1)sin(\frac{2k+1}{n\pm 1}\pi)  $ 。 ...

$n>1, (n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$
这步怎么分析的呢


===== 补充求导证明 =====

不过我发现可以通过求导证明 $h(x) = x \sin \frac{a}{x}$是单调递增的（$a > 0, a/x \in [0, pi]$）
$$h'(x)=\sin \frac{a}{x} - \frac{a}{x} \cos \frac{a}{x}$$
记$t=a/x$，然后
$$(\sin t - t \cos t)'=t\sin t > 0$$
所以$h'(x) \geq 0$，即$h(x)$单调递增。

wayne

严格来说，其实是要证明 $n>1, max((n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) )> max((n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right))$,这里面的$n$是定值，$k$是可变的，然后我们对$n$按照4取模，于是可以分别求出max，发现都恒成立

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wayne 发表于 2020-9-14 17:36
严格来说，其实是要证明 $n>1, max((n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) )> max((n-1) \sin  ...

不需要这样子吧，我们只需要在$[0, \pi]$讨论，而如果$\frac{(2k+1)\pi}{n-1} < \pi$，那么一定有$\frac{(2k+1)\pi}{n+1} < \pi$，而$(n+1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n+1}\right) > (n-1) \sin \left(\frac{\pi  (2 k+1)}{n-1}\right)$，这说明$\frac{(2k+1)\pi}{n-1}$处不可能成为最大值（可能是某个极大值，但不可能是最大值）。