求一个极限

lsr314

求极限$lim_{t →∞} 1/t \int_0^t |sin(x)sin(sqrt2 x)|dx$.

wayne

算到了$t=6*10^6$，答案是$0.4052848699460957$,  然后，凭直觉，发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$。 然后把$\sqrt{2}$换成其他的无理数，比如$\sqrt{3}$，发现答案不变,仍然是$\frac{4}{\pi^2}$,好神奇啊。

所以，这题有了一个思路，就是先用两个比较接近的有理数代替$\sqrt{2}$，分别计算这两个有理数对应极限，这个时候就会有周期性，所以很好计算了，再运用夹逼原理。哈哈哈。

kastin

wayne 发表于 2020-9-11 17:01
算到了$t=6*10^6$，答案是$0.4052848699460957$,  然后，凭直觉，发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$,好神奇 ...

展开为傅里叶余弦级数，然后积分，结果为`\frac{\sin \left(\sqrt{2} \pi \right)+2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)}{\pi }`
约为0.409556

kastin

lsr314 发表于 2020-9-11 17:27
过程贴一下?或者试一下把$\sqrt2$换成更大的无理数，结果会不会超过$1$，超过$1$是不合理的

取常数项即可，剩余部分积分后除以t取极限，是无穷小之和，分母是t，分子是正弦级数，需要证明分子其和有界。

1. 1/2 FourierCosCoefficient[Abs[Sin[x] Sin[Sqrt@2 x]], x,
   
2.    0] // TrigReduce

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wayne

wayne 发表于 2020-9-11 17:01
算到了$t=6*10^6$，答案是$0.4052848699460957$,  然后，凭直觉，发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$。 然后 ...

补充验证代码， 代码的思路就是把所有的积分区间都找出来，挨个计算累加，发现积分结果是 振荡的收敛于$\frac{4}{\pi^2} =0.405285...$,如图中的红线：

1. n=10^5;k=Sqrt[12];
   
2. pts=Flatten[{0,Sort[Flatten[{Range[Floor[(k n)/Pi]]/k,Range[Floor[n/Pi]]}Pi],Less],n}];
   
3. f[x_]=Integrate[Sin[x]Sin[k x],x];
   
4. ans=Table[Abs[N[f[pts[[p+1]]]-f[pts[[p]]],10]],{p,Length[pts]-1}];
   
5. tmp=Accumulate[ans];
   
6. Show[ListPlot[Table[{pts[[i+1]],tmp[[i]]/pts[[i+1]]},{i,Length[tmp]/10}]],Plot[(2/Pi)^2,{x,0,n},PlotStyle->{Red,Dashed,Thick}]]

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lsr314

wayne和kastin的计算结果太接近了，一时竟不知道哪个是对的。。

wayne

$\sqrt{2}$换成其他任意无理数 都是$\frac{4}{\pi^2}$

wayne

kastin 发表于 2020-9-11 18:02
取常数项即可，剩余部分积分后除以t取极限，是无穷小之和，分母是t，分子是正弦级数，需要证明分子其和有 ...

离散余弦变换后，第$n$项的系数倒是可以算出来，是$\frac{2 (-1)^n \left(n^2+1\right) \sin \left(\sqrt{2} \pi \right)-4 \sqrt{2} \left(n^2-1\right) \sin \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi  n}{\sqrt{2}}\right)+8 \sqrt{2} n \cos \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right) \sin \left(\frac{\pi  n}{\sqrt{2}}\right)}{\pi  \left(n^4-6 n^2+1\right)}$。拿到了系数我们接着怎么做。变换后的空间 跟 原先的空间不一样了吧，感觉不应该直接拿来用。

mathe

给个不怎么严格的分析过程：
对于$|\sin(x)|$的取值，我们如果看成是一个随机变量，那么其取值相当于是分布函数为$\frac{2\sin^{-1}(x)}{\pi}$的[0,1]上的随机变量，所以其密度函数为分布函数的导数，也就是$\frac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}}$, 这个随机变量的期望值为$\int_0^2 \frac{2x dx}{\pi\sqrt{1-x^2}} =\frac{2}{\pi}$.
而$|\sin(\sqrt{2}x)|$的取值也具有同样的分布，而且由于系数$1$和$\sqrt{2}$的比值为无理数，导致上面积分过程中两者的组合看上去非常“独立”，所以上面的平均值相当于这两个随机变量乘积的期望值，等于两者期望值的乘积，即结果为$(\frac{2}{\pi})^2$

wayne

在一个微信群里有位大佬大致是这么解答的。
设函数$F(t)=\int_0^t |sin(x)sin(\sqrt{2} x)|dx$，$F(0)=0$,那么$\lim_{t\to\infty}\frac{F(t)}{t}$就是相当于对全区间求均值，因为$\sqrt{2}$是无理数，所以$F(t)$会均匀遍历到区间的所有值，所以我们对单个周期求均值就行了，于是，我们再引入一个变量，比如$y\in[0,\pi]$。
$$\lim_{t →∞}\frac{F(t)}{t} =\frac{1}{\pi^2} \int_0^{\pi}dx\int_0^{\pi} |sin(x)sin(\sqrt{2} x-y)|dy  =  \frac{4}{\pi^2}$$