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[提问] 求一个极限

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发表于 2020-9-11 13:49:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求极限$lim_{t →∞} 1/t \int_0^t |sin(x)sin(sqrt2 x)|dx$.

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0.41左右  发表于 2020-9-11 14:30
好题目  发表于 2020-9-11 14:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-11 17:01:18 | 显示全部楼层
算到了$t=6*10^6$,答案是$0.4052848699460957$,  然后,凭直觉,发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$。 然后把$\sqrt{2}$换成其他的无理数,比如$\sqrt{3}$,发现答案不变,仍然是$\frac{4}{\pi^2}$,好神奇啊。

所以,这题有了一个思路,就是先用两个比较接近的有理数代替$\sqrt{2}$,分别计算这两个有理数对应极限,这个时候就会有周期性,所以很好计算了,再运用夹逼原理。哈哈哈。

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这个貌似不能用逼近的方法,用接近$sqrt2$的有理数代替以后在$x$较大的时候两个图形会失去近似性(比值不趋近于1,差也不趋近于0)  发表于 2020-9-11 22:55
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发表于 2020-9-11 17:14:55 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-11 17:01
算到了$t=6*10^6$,答案是$0.4052848699460957$,  然后,凭直觉,发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$,好神奇 ...

展开为傅里叶余弦级数,然后积分,结果为`\frac{\sin \left(\sqrt{2} \pi \right)+2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)}{\pi }`
约为0.409556

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试一下把$\sqrt2$换成更大的无理数,结果会不会超过$1$?  发表于 2020-9-11 18:01
不过需要证明后面的三角级数收敛到某个有界函数以保证严谨性。  发表于 2020-9-11 17:24
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发表于 2020-9-11 18:02:13 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-9-11 17:27
过程贴一下?或者试一下把$\sqrt2$换成更大的无理数,结果会不会超过$1$,超过$1$是不合理的

取常数项即可,剩余部分积分后除以t取极限,是无穷小之和,分母是t,分子是正弦级数,需要证明分子其和有界。
  1. 1/2 FourierCosCoefficient[Abs[Sin[x] Sin[Sqrt@2 x]], x,
  2.    0] // TrigReduce
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改为 `sqrt{97}`,结果0.40585,其他结果也都在0.40这里小幅摆动。  发表于 2020-9-11 18:04
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发表于 2020-9-11 23:25:31 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-11 17:01
算到了$t=6*10^6$,答案是$0.4052848699460957$,  然后,凭直觉,发现非常接近于$\frac{4}{\pi^2}$。 然后 ...

补充验证代码, 代码的思路就是把所有的积分区间都找出来,挨个计算累加,发现积分结果是 振荡的收敛于$\frac{4}{\pi^2} =0.405285...$,如图中的红线:
  1. n=10^5;k=Sqrt[12];
  2. pts=Flatten[{0,Sort[Flatten[{Range[Floor[(k n)/Pi]]/k,Range[Floor[n/Pi]]}Pi],Less],n}];
  3. f[x_]=Integrate[Sin[x]Sin[k x],x];
  4. ans=Table[Abs[N[f[pts[[p+1]]]-f[pts[[p]]],10]],{p,Length[pts]-1}];
  5. tmp=Accumulate[ans];
  6. Show[ListPlot[Table[{pts[[i+1]],tmp[[i]]/pts[[i+1]]},{i,Length[tmp]/10}]],Plot[(2/Pi)^2,{x,0,n},PlotStyle->{Red,Dashed,Thick}]]
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111.png
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 楼主| 发表于 2020-9-11 23:39:09 | 显示全部楼层
wayne和kastin的计算结果太接近了,一时竟不知道哪个是对的。。

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红线是$\frac{4}{\pi^2}$  发表于 2020-9-11 23:53
补充了作图的代码  发表于 2020-9-11 23:52
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发表于 2020-9-12 08:43:19 | 显示全部楼层
$\sqrt{2}$换成其他任意无理数 都是$\frac{4}{\pi^2}$
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发表于 2020-9-12 12:59:09 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2020-9-11 18:02
取常数项即可,剩余部分积分后除以t取极限,是无穷小之和,分母是t,分子是正弦级数,需要证明分子其和有 ...


离散余弦变换后,第$n$项的系数倒是可以算出来,是$\frac{2 (-1)^n \left(n^2+1\right) \sin \left(\sqrt{2} \pi \right)-4 \sqrt{2} \left(n^2-1\right) \sin \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi  n}{\sqrt{2}}\right)+8 \sqrt{2} n \cos \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right) \sin \left(\frac{\pi  n}{\sqrt{2}}\right)}{\pi  \left(n^4-6 n^2+1\right)}$。拿到了系数我们接着怎么做。变换后的空间 跟 原先的空间不一样了吧,感觉不应该直接拿来用。

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问题是这个系数比较复杂,要证明正弦级数的和函数有界,暂时没什么好思路(不过也许它无界)。  发表于 2020-9-12 16:54
取第0项,除以2就是一个主部。剩余的是余弦,积分后为正弦级数,若它的和函数有界,那么除以x后取极限就是无穷小,最终结果就是我给出的结果。如果和函数无界的话,那我给的结果需要加上一个有限大小的修正项。  发表于 2020-9-12 16:52
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发表于 2020-9-12 16:40:14 | 显示全部楼层
给个不怎么严格的分析过程:
对于$|\sin(x)|$的取值,我们如果看成是一个随机变量,那么其取值相当于是分布函数为$\frac{2\sin^{-1}(x)}{\pi}$的[0,1]上的随机变量,所以其密度函数为分布函数的导数,也就是$\frac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}}$, 这个随机变量的期望值为$\int_0^2 \frac{2x dx}{\pi\sqrt{1-x^2}} =\frac{2}{\pi}$.
而$|\sin(\sqrt{2}x)|$的取值也具有同样的分布,而且由于系数$1$和$\sqrt{2}$的比值为无理数,导致上面积分过程中两者的组合看上去非常“独立”,所以上面的平均值相当于这两个随机变量乘积的期望值,等于两者期望值的乘积,即结果为$(\frac{2}{\pi})^2$

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这个很靠谱  发表于 2020-9-12 17:18

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发表于 2020-9-12 18:36:22 | 显示全部楼层
在一个微信群里有位大佬大致是这么解答的。
设函数$F(t)=\int_0^t |sin(x)sin(\sqrt{2} x)|dx$,$F(0)=0$,那么$\lim_{t\to\infty}\frac{F(t)}{t}$就是相当于对全区间求均值,因为$\sqrt{2}$是无理数,所以$F(t)$会均匀遍历到区间的所有值,所以我们对单个周期求均值就行了,于是,我们再引入一个变量,比如$y\in[0,\pi]$。
$$\lim_{t →∞}\frac{F(t)}{t} =\frac{1}{\pi^2} \int_0^{\pi}dx\int_0^{\pi} |sin(x)sin(\sqrt{2} x-y)|dy  =  \frac{4}{\pi^2}$$
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