求xyz(x+y+z) =3n^2的通解

wayne

是否可能求得 $xyz(x+y+z) =3n^2$的正整数解的通解

lsr314

任取$y,z$,比如令$y=z=1$,变成佩尔方程$(x+1)^2-3n^2=1$

葡萄糖

是不是可以构造对称多项式化为方程组？
https://math.stackexchange.com/q ... o-abcabbccaabc?rq=1

mathematica

lsr314 发表于 2020-9-11 23:22
任取$y,z$,比如令$y=z=1$,变成佩尔方程$(x+1)^2-3n^2=1$

你太能把问题化简了，为什么不确定n，然后对3n2进行分解质因数呢？

uk702

mathematica 发表于 2020-9-12 14:01
你太能把问题化简了，为什么不确定n，然后对3n2进行分解质因数呢？

实际上，对于任意固定的 x，y，原式都可以改写成  (xy)z^2 + (xy)(x+y)z-3n^2=0，将之视作一般的二元二次方程  ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，则有：
a = xy
b = 0
c = -3
d = xy (x + y)
e = 0
f = 0

根据柯召的《谈谈不定方程》第36页，因为
D = b^2 - 4 ac = 12 xy，
T =  4 acf + bde - ae^2 - cd^2 - fb^2 = 3[xy (x + y)]^2 != 0

原式可转化为 X^2-DY^2=M，其中 M=4aDT=4xy12xy3[xy (x + y)]^2=144(xy)^4(x+y)^2 。

其结论是，若 3xy 不为完全平方数，且方程有一个解，则有无穷多个解。

补充内容 (2020-11-13 07:41):
至于判断那些 x、y 有解，这个问题跟判断 n 是否是素数是一样的，需要一定的运算量。

hujunhua

可以探索一下对什么样的 n 有解，得到一个解数数列。

这个方程如果不作限定的话，会有许多等价解。
首先，一个解最多会有6个不同排列的等价解，为此可以限制`x≤y≤z`去重。
其次，`(x,y,z)`是一个解，则 `(-z, -y, -x) `也是一个等价解，为此可以限制`x+y+z>0`去重。
最后，在上述限制下的一个解 `(x,y,z)` 会有3个等价解 `(-z,-y,x+y+z),(-y,-x,x+y+z),(-z,-x,x+y+z)`, 易知这种等价解可以通过限制`x,y,z`为正数消除。
限制`0<x≤y≤z`, 在n<100的范围内搜索结果如下：

有解的 n	解数	其中gcd(x,y,z)=1的解数
1	1	1
4	2	1
6	1	1
9	1	0
10	1	1
14	1	1
15	2	2
16	2	0
20	2	2
24	2	1
25	1	0
30	2	2
36	3	1
39	1	1
40	2	1
44	2	2
49	1	0
54	1	0
55	1	1
56	2	1
60	8	6
64	2	0
65	1	1
66	1	1
70	2	2
80	3	1
81	1	0
84	3	3
90	1	0
96	2	0

表中第3列列出了 `\gcd(x,y,z)=1`的解数, 。第3列小于第2列的，都是n含平方因子的。

uk702

hujunhua 发表于 2020-11-13 10:10
可以探索一下对什么样的 n 有解，得到一个解数数列。
...

可以研究一下，满足题目要求的 n 是否有正的密率，甚至密率是否接近百分百。

以每 1000 为单位验证了一下，似乎随着 n 的增大，符合条件的 n 出现概率趋于 0。

第i个1000	其中符合的 n 频率
1	0.196
2	0.151
3	0.126
4	0.118
5	0.11
6	0.108
7	0.107
8	0.099
9	0.108
10	0.109
11	0.082
12	0.094
13	0.104
14	0.099
15	0.079
16	0.082
17	0.087
18	0.081
19	0.092
20	0.08
21	0.08
22	0.087
23	0.068
24	0.075
25	0.079
26	0.084
27	0.075
28	0.077
29	0.067
30	0.071
31	0.08
32	0.075
33	0.077
34	0.072
35	0.076
36	0.069
37	0.074
38	0.076
39	0.065
40	0.073
41	0.068
42	0.071
43	0.073
44	0.067
45	0.071
46	0.067
47	0.057
48	0.064
49	0.082
50	0.071
51	0.073
52	0.069
53	0.073
54	0.059
55	0.07
56	0.066
57	0.063
58	0.057
59	0.066
60	0.064
61	0.052
62	0.066
63	0.065
64	0.068
65	0.062
66	0.061
67	0.068
68	0.057
69	0.053
70	0.067
71	0.06
72	0.06
73	0.06
74	0.064
75	0.069
76	0.07
77	0.072
78	0.058
79	0.062
80	0.065
81	0.05
82	0.059
83	0.073
84	0.065
85	0.059
86	0.057
87	0.063
88	0.052
89	0.053
90	0.055
91	0.059
92	0.052
93	0.058
94	0.065
95	0.054
96	0.057
97	0.052
98	0.056
99	0.053
100	0.06