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[讨论] 求xyz(x+y+z) =3n^2的通解

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发表于 2020-9-11 22:40:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
是否可能求得 $xyz(x+y+z) =3n^2$的正整数解的通解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-11 23:22:47 | 显示全部楼层
任取$y,z$,比如令$y=z=1$,变成佩尔方程$(x+1)^2-3n^2=1$
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发表于 2020-9-12 09:18:46 | 显示全部楼层
是不是可以构造对称多项式化为方程组?
https://math.stackexchange.com/q ... o-abcabbccaabc?rq=1
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发表于 2020-9-12 14:01:23 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-9-11 23:22
任取$y,z$,比如令$y=z=1$,变成佩尔方程$(x+1)^2-3n^2=1$

你太能把问题化简了,为什么不确定n,然后对3n2进行分解质因数呢?
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发表于 2020-11-12 10:18:21 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-9-12 14:01
你太能把问题化简了,为什么不确定n,然后对3n2进行分解质因数呢?


实际上,对于任意固定的 x,y,原式都可以改写成  (xy)z^2 + (xy)(x+y)z-3n^2=0,将之视作一般的二元二次方程  ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0,则有:
a = xy
b = 0
c = -3
d = xy (x + y)
e = 0
f = 0

根据柯召的《谈谈不定方程》第36页,因为
D = b^2 - 4 ac = 12 xy,
T =  4 acf + bde - ae^2 - cd^2 - fb^2 = 3[xy (x + y)]^2 != 0

原式可转化为 X^2-DY^2=M,其中 M=4aDT=4xy12xy3[xy (x + y)]^2=144(xy)^4(x+y)^2 。

其结论是,若 3xy 不为完全平方数,且方程有一个解,则有无穷多个解。

补充内容 (2020-11-13 07:41):
至于判断那些 x、y 有解,这个问题跟判断 n 是否是素数是一样的,需要一定的运算量。
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发表于 2020-11-13 10:10:02 | 显示全部楼层
可以探索一下对什么样的 n 有解,得到一个解数数列。

这个方程如果不作限定的话,会有许多等价解。
首先,一个解最多会有6个不同排列的等价解,为此可以限制`x≤y≤z`去重。
其次,`(x,y,z)`是一个解,则 `(-z, -y, -x) `也是一个等价解,为此可以限制`x+y+z>0`去重。
最后,在上述限制下的一个解 `(x,y,z)` 会有3个等价解 `(-z,-y,x+y+z),(-y,-x,x+y+z),(-z,-x,x+y+z)`, 易知这种等价解可以通过限制`x,y,z`为正数消除。
限制`0<x≤y≤z`, 在n<100的范围内搜索结果如下:
有解的 n解数其中gcd(x,y,z)=1的解数
111
421
611
910
1011
1411
1522
1620
2022
2421
2510
3022
3631
3911
4021
4422
4910
5410
5511
5621
6086
6420
6511
6611
7022
8031
8110
8433
9010
9620
表中第3列列出了 `\gcd(x,y,z)=1`的解数, 。第3列小于第2列的,都是n含平方因子的。
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发表于 2020-11-13 10:30:30 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-11-13 10:10
可以探索一下对什么样的 n 有解,得到一个解数数列。
...

可以研究一下,满足题目要求的 n 是否有正的密率,甚至密率是否接近百分百。

以每 1000 为单位验证了一下,似乎随着 n 的增大,符合条件的 n 出现概率趋于 0。
第i个1000其中符合的 n 频率
10.196
20.151
30.126
40.118
50.11
60.108
70.107
80.099
90.108
100.109
110.082
120.094
130.104
140.099
150.079
160.082
170.087
180.081
190.092
200.08
210.08
220.087
230.068
240.075
250.079
260.084
270.075
280.077
290.067
300.071
310.08
320.075
330.077
340.072
350.076
360.069
370.074
380.076
390.065
400.073
410.068
420.071
430.073
440.067
450.071
460.067
470.057
480.064
490.082
500.071
510.073
520.069
530.073
540.059
550.07
560.066
570.063
580.057
590.066
600.064
610.052
620.066
630.065
640.068
650.062
660.061
670.068
680.057
690.053
700.067
710.06
720.06
730.06
740.064
750.069
760.07
770.072
780.058
790.062
800.065
810.05
820.059
830.073
840.065
850.059
860.057
870.063
880.052
890.053
900.055
910.059
920.052
930.058
940.065
950.054
960.057
970.052
980.056
990.053
1000.06


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