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[求助] 求 y=f(x) 曲线上从 x=a 到 x=b 弧长的积分公式是如何推导出来的

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发表于 2020-9-13 20:46:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 笨笨 于 2020-9-13 20:47 编辑

求 y=f(x) 曲线上从 x=a 到 x=b 弧长的积分公式是如何推导出来的

国内教科书上用的方法要么参数法,要么淡化不详细讲,忽略不重点讲

按照图片中求弧长方法具体怎么求(节选自华罗庚先生的高等数学引论)
QQ截图20200913204719.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-13 20:49:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 笨笨 于 2020-9-13 20:50 编辑

声明:请用内接折线法求弧长,另外不要用参数化,参数化的不算

走过,路过的好心老师及好友,请用通俗易懂的叙述手法详细分析一下,在此说声谢谢
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发表于 2020-9-13 21:27:01 | 显示全部楼层
曲线在某点处长度的变化 是用切线方向的数量变化来刻画的(法线方向的数量变化 只改变方向,不改变长度)。 切线方向的微元 在直角座标系下就是 直角三角形的斜边,根据勾股定理,$(ds)^2 = (dx)^2+(dy)^2$  ,
于是 $ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}  =   \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx $,  进而得到弧长$ s =\int_0^{x_0}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx  $
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 楼主| 发表于 2020-9-13 22:40:01 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-13 21:27
曲线在某点处长度的变化 是用切线方向的数量变化来刻画的(法线方向的数量变化 只改变方向,不改变长度)。  ...


数学门外汉表示不服,话说微积分的基本思想就是以直代曲,无限分割求极限。其中用内接折线法无限逼近曲线弧长最好的例子就是割圆术。也就是说用折线法思想去逼近,而不是切线方向去逼近,难道要与国际接轨吗,有或者折线去逼近不好吗,要淘汰吗,还是工具太烂,还请老师仔细给学生科普一下,在此谢过

点评

折线就是割线,当分割无限密的时候,割线就变成了切线。不是先有切线再有折线,是先有了折线,然后得到切线。  发表于 2020-9-14 13:53
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-9-14 09:53:59 | 显示全部楼层
难道要与国际接轨吗,有或者折线去逼近不好吗

数学无国界之分。你可以用最原始朴素的手段取逼近,能解决问题就行
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-14 10:03:07 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-14 09:53
数学无国界之分。你可以用最原始朴素的手段取逼近,能解决问题就行

谢谢老师,我想也是这样,内接折线就比较好,
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 11:52:50 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2020-9-14 10:03
谢谢老师,我想也是这样,内接折线就比较好,

内接外接,夹逼准则。
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 楼主| 发表于 2020-9-14 13:39:00 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2020-9-14 11:52
内接外接,夹逼准则。

可否具体分析一下,忘老师指导一二
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