求 y=f(x) 曲线上从 x=a 到 x=b 弧长的积分公式是如何推导出来的

笨笨

求 y=f(x) 曲线上从 x=a 到 x=b 弧长的积分公式是如何推导出来的

国内教科书上用的方法要么参数法，要么淡化不详细讲，忽略不重点讲

按照图片中求弧长方法具体怎么求（节选自华罗庚先生的高等数学引论）

笨笨

声明：请用内接折线法求弧长，另外不要用参数化，参数化的不算

走过，路过的好心老师及好友，请用通俗易懂的叙述手法详细分析一下，在此说声谢谢

wayne

曲线在某点处长度的变化 是用切线方向的数量变化来刻画的(法线方向的数量变化 只改变方向，不改变长度)。 切线方向的微元 在直角座标系下就是 直角三角形的斜边，根据勾股定理，$(ds)^2 = (dx)^2+(dy)^2$  ,
于是 $ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}  =   \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx $，  进而得到弧长$ s =\int_0^{x_0}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx  $

笨笨

wayne 发表于 2020-9-13 21:27
曲线在某点处长度的变化 是用切线方向的数量变化来刻画的(法线方向的数量变化 只改变方向，不改变长度)。  ...

数学门外汉表示不服，话说微积分的基本思想就是以直代曲，无限分割求极限。其中用内接折线法无限逼近曲线弧长最好的例子就是割圆术。也就是说用折线法思想去逼近，而不是切线方向去逼近，难道要与国际接轨吗，有或者折线去逼近不好吗，要淘汰吗，还是工具太烂，还请老师仔细给学生科普一下，在此谢过

wayne

难道要与国际接轨吗，有或者折线去逼近不好吗

数学无国界之分。你可以用最原始朴素的手段取逼近，能解决问题就行

笨笨

wayne 发表于 2020-9-14 09:53
数学无国界之分。你可以用最原始朴素的手段取逼近，能解决问题就行

谢谢老师，我想也是这样，内接折线就比较好，

aimisiyou

笨笨 发表于 2020-9-14 10:03
谢谢老师，我想也是这样，内接折线就比较好，

内接外接，夹逼准则。

笨笨

aimisiyou 发表于 2020-9-14 11:52
内接外接，夹逼准则。

可否具体分析一下，忘老师指导一二