下坡抛小球，选什么角度抛的最远？（向量建模题）

wufaxian

请看上图，我的思路是写出OR上的速度分量Vor，其表达式由初速度V0；角度阿尔法；角AOR，这一步已经做到了！
再求出时间t的表达式，其中包含角度阿尔法；角AOR，
下倾射程OR最后写成Vor*t的表达式，其中只包含：初速度V0；角度阿尔法；角AOR。由于三角函数容易找到定义域内的最大值。于是就可以求得射程OR最大值时所对应角度阿尔法；角AOR的比例关系了。

但是“ 时间t的表达式，其中包含角度阿尔法；角AOR，”这一步没有实现！
目前已经可以写出纵向速度分量Vz的表达式。其中包含V0和角阿尔法。
如果是平地抛球，只需要Vz*t-0.5gt^2=0，求出t就得到落地时间了。但是现在并不是纵向位移等于0就落地了，由于是下坡，会存在负的纵向位移。因此应用上述方法就无法求出球落地时间了。于是就得不到落地时间t的表达式了！！！！


还请老师给个解题思路。或者完整的证明过程。

gxqcn

以O为原点建立直角坐标系，其中横轴为山坡，则全过程纵向位移为0。
通过对速度、加速度均进行分解，很容易解答证明，请自行补上，勿再求助他人。

话说，本论坛并不欢迎作业党的简单求助；
如再有类似问题，请选择在更适合的地方讨论吧。

wufaxian

gxqcn 发表于 2020-10-5 08:52
以O为原点建立直角坐标系，其中横轴为山坡，则全过程纵向位移为0。
通过对速度、加速度均进行分解，很容易 ...

以O为原点建立直角坐标系，其中横轴为山坡-----------即便如此。小球路径嫔妃平行于山坡（x轴）运动，那么全过程还是有纵向位移。
另外本人并非学生，也没有升学毕业求职压力，只是最近对数学感兴趣，在看相关书籍。所以这些贴出来的内容站在我的角度看确确实实是有难度问题。当然难易标准不能以我个人水平作为衡量依据。但是问题难易程度，是否有价值，论坛是否有清晰标准或指引可以遵从呢？如果有，我看看。这样以后可以正确的发帖。

gxqcn

设 \(\angle ROA = \theta\)，则 \(\overrightarrow{V_0}=(V_0\cos(\alpha), V_0\sin(\alpha)), \overrightarrow{g}=(-g\cos(\theta), -g\sin(\theta))\)
X, Y 轴向上均作匀加速运动，设总时间为 \(t\)，则
\[\begin{align}V_0\sin(\alpha)*t - \frac{1}{2}g\sin(\theta)*t^2 &= 0\\V_0\cos(\alpha)*t - \frac{1}{2}g\cos(\theta)*t^2 &= OR(\alpha)\end{align}\]
由(1)，得 \(t=\dfrac{2V_0\sin(\alpha)}{g\sin(\theta)}\)，代入(2)，得：

\(OR(\alpha)=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)}(\sin(\theta)*\sin(2\alpha)-2\cos(\theta)*\sin^2(\alpha))\)

\(OR'(\alpha)=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)}(\sin(\theta)*2\cos(2\alpha)-2\cos(\theta)*\sin(2\alpha))=0 \iff \tan(2\alpha)=\tan(\theta)\)

\(\therefore\) 当 \(\alpha=\dfrac{\theta}{2}\) 时，\(OR\) 取得最大值

wufaxian

gxqcn 发表于 2020-10-5 10:54
设 \(\angle ROA = \theta\)，则 \(\overrightarrow{V_0}=(V_0\cos(\alpha), V_0\sin(\alpha)), \overright ...

谢谢gxqcn回复。使我对如何处理向量问题有了新的认识。

gxqcn

gxqcn 发表于 2020-10-5 10:54
设 \(\angle ROA = \theta\)，则 \(\overrightarrow{V_0}=(V_0\cos(\alpha), V_0\sin(\alpha)), \overright ...

还有避免求导的方法：

\(\begin{align*}OR(\alpha)&=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)}(\sin(\theta)*\sin(2\alpha)-2\cos(\theta)*\sin^2(\alpha))\\
&=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)} \left(\sin(\theta)*\sin(2\alpha)-2\cos(\theta)*\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)\\
&=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)} (\sin(\theta)*\sin(2\alpha)+\cos(\theta)*\cos(2\alpha)-\cos(\theta))\\
&=\dfrac{V_0^2}{g\sin^2(\theta)} (\color{red}{\cos(2\alpha-\theta)}-\cos(\theta))\end{align*}\)

\(\therefore OR_{max} =OR\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{V_0^2(1-\cos(\theta))}{g\sin^2(\theta)}\)