求一个方程的非负整数解

yigo

mathe

设$x^2=ab+bc+ca$. p=a+b+c+2x. ab+bp+pa=(a+b)^2+c(a+b)+2x(a+b)+ab=(a+b+x)^2
所以p替换c可行。
另外2(p+a+b)-c替换c也可以

mathe

另外(2,2,3)是合法解，显然无法通过(0,0,1)产生

.·.·.

看到ab+bc+ca我就想补一个a^2进去
我们事实上要计算符合(a+b)(a+c)=a^2+x^2的a,b,c,x
这要求a^2+x^2必须是合数(或者{0,1}是{a,b,c}的子集)
这样可以生成一大堆合法的解
比如25=5*5=3^2+4^2,得到(4,1,1)和(3,2,2)这两组解

（写下 看到ab+bc+ca我就想补一个a^2进去 这句话的时候……我不由得想到了12年的CMO……）

mathe

$x^2=ab+bc+ca$
于是
$\frac{(\lambda (a+b)\pm x)^2-ab}{a+b}=\lambda^2(a+b)\pm2\lambda x+c$
得出可以用$\lambda^2(a+b)\pm2\lambda x+c$替换c,这个传播链可以扩展的更加厉害.
而如果我们扩展到还允许a,b,c取负整数的值，那么这个替换过程就应该可以将所有的解串起来了

葡萄糖

1. x*y + y*z + z*x /. {x -> 5 a^2 + 4 a b + a c - b c,
   
2.    y -> 5 b^2 + 4 a b - a c + b c,
   
3.    z -> 2 c^2 - 4 a b + a c + b c} // Factor
   
4. 
   
5. x*y + y*z + z*x /. {x -> 2 u*v (u^2 + 2 u*v - 2 v^2),
   
6.    y -> 2 u*v (2 v^2 + 2 u*v - u^2),
   
7.    z -> u^4 - 2 u^2 v^2 + 4 v^4} // Factor
   
8. 
   
9. x*y + y*z + z*x /. {x -> \[Alpha] \[Gamma] - \[Beta] \[Delta],
   
10.    y -> \[Alpha]^2 + \[Beta]^2 - \[Alpha] \[Gamma] + \[Beta] \[Delta],
    
11.     z -> -\[Alpha] \[Gamma] + \[Gamma]^2 + \[Beta] \[Delta] + \
    
12. \[Delta]^2} // Factor

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https://artofproblemsolving.com/community/c6h1089053p4831913
https://artofproblemsolving.com/community/c6h504506p2833971