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[讨论] 求一个方程的非负整数解

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发表于 2020-10-9 16:40:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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QQ截图20201009164123.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-9 17:12:29 来自手机 | 显示全部楼层
设$x^2=ab+bc+ca$. p=a+b+c+2x. ab+bp+pa=(a+b)^2+c(a+b)+2x(a+b)+ab=(a+b+x)^2
所以p替换c可行。
另外2(p+a+b)-c替换c也可以
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-9 17:16:45 来自手机 | 显示全部楼层
另外(2,2,3)是合法解,显然无法通过(0,0,1)产生
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发表于 2020-10-9 17:55:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2020-10-9 17:56 编辑

看到ab+bc+ca我就想补一个a^2进去
我们事实上要计算符合(a+b)(a+c)=a^2+x^2的a,b,c,x
这要求a^2+x^2必须是合数(或者{0,1}是{a,b,c}的子集)
这样可以生成一大堆合法的解
比如25=5*5=3^2+4^2,得到(4,1,1)和(3,2,2)这两组解

(写下 看到ab+bc+ca我就想补一个a^2进去 这句话的时候……我不由得想到了12年的CMO……)
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发表于 2020-10-9 18:04:10 | 显示全部楼层
$x^2=ab+bc+ca$
于是
$\frac{(\lambda (a+b)\pm x)^2-ab}{a+b}=\lambda^2(a+b)\pm2\lambda x+c$
得出可以用$\lambda^2(a+b)\pm2\lambda x+c$替换c,这个传播链可以扩展的更加厉害.
而如果我们扩展到还允许a,b,c取负整数的值,那么这个替换过程就应该可以将所有的解串起来了
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发表于 2020-10-10 15:05:22 | 显示全部楼层
  1. x*y + y*z + z*x /. {x -> 5 a^2 + 4 a b + a c - b c,
  2.    y -> 5 b^2 + 4 a b - a c + b c,
  3.    z -> 2 c^2 - 4 a b + a c + b c} // Factor

  4. x*y + y*z + z*x /. {x -> 2 u*v (u^2 + 2 u*v - 2 v^2),
  5.    y -> 2 u*v (2 v^2 + 2 u*v - u^2),
  6.    z -> u^4 - 2 u^2 v^2 + 4 v^4} // Factor

  7. x*y + y*z + z*x /. {x -> \[Alpha] \[Gamma] - \[Beta] \[Delta],
  8.    y -> \[Alpha]^2 + \[Beta]^2 - \[Alpha] \[Gamma] + \[Beta] \[Delta],
  9.     z -> -\[Alpha] \[Gamma] + \[Gamma]^2 + \[Beta] \[Delta] + \
  10. \[Delta]^2} // Factor
复制代码



https://artofproblemsolving.com/community/c6h1089053p4831913
https://artofproblemsolving.com/community/c6h504506p2833971
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