斯特瓦尔特定理的逆定理

lsr314

《几何瑰宝》中关于斯特瓦尔特定理的逆定理的证明有点问题，化简的时候默认PC+PB-BC=0了，而这正是需要证明的结论。在网上没找到正确的证明，这个结论怎么证明呢？

lsr314

当P不是在角BAC内部，而是在平面上运动时，其轨迹是一条包含线段BC的闭曲线，我们要证明在∠ABC内部不会有其他点满足该等式：

mathe

逆定理是错误的。
我们选择BP=PC=13,BC=24, 于是$\cos(/_BPA)=\cos(/_CPA)=5/13$
得出
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC)- 2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))=AB^2\times PC+AC^2 \times BC $
如果需要逆定理成立，我们得出
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC-BC)=  2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))$
也就是
$(AP^2+13^2)\times 2 = 2AP\times 13^2\times 10/13$
取AP=128.68673331236263055312938594235317619就可以满足条件(方程x^2 - 130*x + 169=0的根）

lsr314

lsr314 发表于 2020-10-12 23:40
当P不是在角BAC内部，而是在平面上运动时，其轨迹是一条包含线段BC的闭曲线，我们要证明在∠ABC内部不会有 ...

当$u$接近$1/2$而$v$接近$2$的时候，图形就有一部分到$∠BAC$内部了，所以会出现反例，即原逆命题不成立。$v$继续增大，轨迹的一个分支将近似于一个圆，各个方向都覆盖了。
那么当点P在△ABC内部的时候（不含边界），是否会有反例？

lsr314

mathe 发表于 2020-10-13 07:51
逆定理是错误的。
我们选择BP=PC=13,BC=24, 于是$\cos(/_BPA)=\cos(/_CPA)=5/13$
得出

点P有没有可能出现在△ABC内部？

mathe

lsr314 发表于 2020-10-13 13:05
点P有没有可能出现在△ABC内部？

不可能在三角形内部。公式
逆定理成立时，必然有表达式
$(AP^2+PB\times PC)(PB+PC-BC)=  2AP\times PB \times PC (\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA))$
成立，其中左边不小于0，这表示$(\cos(/_BPA)+\cos(/_CPA)) \ge 0$.
而如果P在三角形内部，这两角之和大于180度，它们余弦值之和小于0.