怎么证明正四面体的六个二面角之和最小

lihpb00 · 发表于 2020-10-12 22:52:33

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

您需要登录才可以下载或查看，没有账号？欢迎注册

×

任意四面体的六个二面角之和必定大于等于正四面体的六个二面角之和，怎么证明。

lihpb00 · 发表于 2020-10-12 22:53:43

然后再把这个结论推广到n维单形是否成立？

是否任意n维单形的所有二面角之和都大于等于正n维单形？怎么证明

倪举鹏 · 发表于 2020-10-13 10:58:18

错误命题正四面体的六个二面角之和423.17度四面体塌陷成四边形平面，之和360

mathe · 发表于 2020-10-13 12:56:17

可以转化为四个法向量两两夹角之和的最大值。
对于四个单位法向量a,b,c,d，其中任意三个法向量两两夹角之和应该不超过360度（仅当三者共面时才可能达到360度）。
四个向量选3个有四种不同组合，这四种组合所有角度和不超过4*360度，其中没两个向量之间组合被重复使用了两次，所以四个单位向量a,b,c,d两两夹角之和不超过4*360/2=720度。
对应四个面的两两夹角之和不小于6*180-720=360度。

mathe · 发表于 2020-10-13 13:50:24

任意三个法向量两两夹角之和应该不超过360度的证明发现也稍微有点麻烦。可以分成两种情况:
i)两个角是锐角，这种情况很简单
iii)至少两个角不是锐角。将这两个角公共边投影到另外两个角确定的平面上，通过计算可以知道，这两个角的投影都不小于这两个角本身

账号		自动登录	找回密码
密码			欢迎注册

[求助] 怎么证明正四面体的六个二面角之和最小

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

点评