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[求助] 怎么证明正四面体的六个二面角之和最小

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发表于 2020-10-12 22:52:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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任意四面体的六个二面角之和必定大于等于正四面体的六个二面角之和,怎么证明。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-12 22:53:43 | 显示全部楼层
然后再把这个结论推广到n维单形是否成立?

是否任意n维单形的所有二面角之和都大于等于正n维单形?怎么证明
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 10:58:18 | 显示全部楼层
错误命题      正四面体的六个二面角之和423.17度       四面体塌陷成四边形平面,之和360  

点评

你是压顶点到底面三角形中,我是压两个对边  发表于 2020-10-13 11:58
塌陷为四边形后是540度  发表于 2020-10-13 11:00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 12:56:17 | 显示全部楼层
可以转化为四个法向量两两夹角之和的最大值。
对于四个单位法向量a,b,c,d,其中任意三个法向量两两夹角之和应该不超过360度(仅当三者共面时才可能达到360度)。
四个向量选3个有四种不同组合,这四种组合所有角度和不超过4*360度,其中没两个向量之间组合被重复使用了两次,所以四个单位向量a,b,c,d两两夹角之和不超过4*360/2=720度。
对应四个面的两两夹角之和不小于6*180-720=360度。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 13:50:24 | 显示全部楼层
任意三个法向量两两夹角之和应该不超过360度的证明发现也稍微有点麻烦。可以分成两种情况:
i)两个角是锐角,这种情况很简单
iii)至少两个角不是锐角。将这两个角公共边投影到另外两个角确定的平面上,通过计算可以知道,这两个角的投影都不小于这两个角本身
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