用含绝对值的式子表示min(x,y,z)有比较对称的写法吗

chyanog

易知
$\min(x,y) =   \frac {x +y -|x-y|} {2}$
$\max(x,y) =   \frac {x +y +|x-y|} {2}$
$\min(x,y,z)= \frac{1}{4} (x+y+2 z -| x+y-2 z-| x-y| | -| x-y|)$
$\max(x,y,z)=\frac{1}{4} (x+y+2 z+| x+y-2 z+| x-y||+| x-y| )$
$\max(x,y,z)-\min(x,y,z)=\frac (|x-y|+|y-z|+|z-x|) {2}$

上面的写法三元的min、max出现了嵌套绝对值，能否让绝对值不嵌套，式子更对称一些？

hujunhua

三元的是本质不对称吧。
你把mid(x, y, z)写出来肯定就对称了。

zeroieme

\(\max (x,y,z)=\lim_{n\to \infty } \, \left(\frac{1}{3} \left(x^n+y^n+z^n\right)\right)^{1/n}\)

葡萄糖

碰巧以前看到过，虽然挺对称的，但是复杂多了
https://math.stackexchange.com/q ... -of-three-variables
\begin{align*}
\max(a,b,c)
&=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}\end{align*}\begin{align*}
\min(a,b,c)
&=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&-\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}
\end{align*}

zeroieme

葡萄糖 发表于 2020-10-14 15:22
碰巧以前看到过，虽然挺对称的，但是复杂多了
https://math.stackexchange.com/questions/13253/nice- ...

万一a=b=c?

整理一下，紧凑一点：\[\max(a,b,c)=\frac{(a + b) |a - b| + (b + c) |b - c| + (a + c) |c - a|}{
2 (|a - b| + |b - c|+|c - a|)}+ \frac{
|a - b|+|b - c| + |c - a|}4\]

hujunhua

\[\text{mid}(a,b,c)=\frac{a|b-c|+b|c-a|+c|a-b|}{|b-c|+|c-a|+|a-b|}\]