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[提问] 用含绝对值的式子表示min(x,y,z)有比较对称的写法吗

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发表于 2020-10-13 16:58:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
易知
$\min(x,y) =   \frac {x +y -|x-y|} {2}$
$\max(x,y) =   \frac {x +y +|x-y|} {2}$
$\min(x,y,z)= \frac{1}{4} (x+y+2 z -| x+y-2 z-| x-y| | -| x-y|)$
$\max(x,y,z)=\frac{1}{4} (x+y+2 z+| x+y-2 z+| x-y||+| x-y| )$
$\max(x,y,z)-\min(x,y,z)=\frac (|x-y|+|y-z|+|z-x|) {2}$

上面的写法三元的min、max出现了嵌套绝对值,能否让绝对值不嵌套,式子更对称一些?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 17:31:33 | 显示全部楼层
三元的是本质不对称吧。
你把mid(x, y, z)写出来肯定就对称了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-13 18:28:23 | 显示全部楼层
\(\max (x,y,z)=\lim_{n\to \infty } \, \left(\frac{1}{3} \left(x^n+y^n+z^n\right)\right)^{1/n}\)

点评

楼主给的等式都是正数集内成立。  发表于 2020-10-13 20:12
三个都是负数的时候不太好使  发表于 2020-10-13 20:07
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-14 15:22:16 | 显示全部楼层
碰巧以前看到过,虽然挺对称的,但是复杂多了
https://math.stackexchange.com/q ... -of-three-variables
\begin{align*}
\max(a,b,c)
&=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}\end{align*}\begin{align*}
\min(a,b,c)
&=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\
&-\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}
\end{align*}

点评

有除法出现,要防止a=b=c的情况。  发表于 2020-10-18 13:23

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-14 18:35:34 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2020-10-14 15:22
碰巧以前看到过,虽然挺对称的,但是复杂多了
https://math.stackexchange.com/questions/13253/nice- ...

万一a=b=c?

整理一下,紧凑一点:\[\max(a,b,c)=\frac{(a + b) |a - b| + (b + c) |b - c| + (a + c) |c - a|}{
2 (|a - b| + |b - c|+|c - a|)}+ \frac{
|a - b|+|b - c| + |c - a|}4\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-10-15 03:57:48 | 显示全部楼层
\[\text{mid}(a,b,c)=\frac{a|b-c|+b|c-a|+c|a-b|}{|b-c|+|c-a|+|a-b|}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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