怎么理解三维向量叉积于二维向量叉积的差别

wufaxian

三维向量叉积的结果是一个向量。且通过行列式计算时是个3*3的行列式。行列式中有基向量i、j、k。但是二维向量的叉积就只是一个带正负号的数字。而不再是向量。其行列式也不再有基向量i，j再参与运算。少了一维就发生如此大变化。我们应该如何理解这种质变？

换个角度，假如我们还是在一个三维空间。有两个三维向量。但是这“两个三维向量”的基向量k前面的参数是0（某种程度上我们也可以把这两个向量看成二维向量？）。那么此时这两个向量的叉积结果是数字还是？一个向量？从行列式计算结果来看还是一个向量。方向正交于ij张成的平面。但为什么结果不会是一个数字呢？这两个向量本质上和二维向量也没什么差别啊。