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[求助] 怎么证明正四面体的六个二面角余弦之和最大

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发表于 2020-10-15 22:14:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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任意四面体的六个二面角余弦之和小于等于正四面体的六个二面角余弦之和
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-15 22:14:39 | 显示全部楼层
之前那个贴写错了,应该是正四面体的六个二面角余弦之和最大
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-16 07:53:00 | 显示全部楼层
这可仍是一个猜想?

正四面体的二面角余弦为 1/3,六个之和=2;

如果按 倪举鹏 描述的,将其一组对边(假设其棱可伸缩)按压,
则该组对边将为一个塌陷四边形的两条对角线,
其六个二面角余弦之和 = cos0° * 4 + cos180° * 2 = 2;

两种情形都是2,那其它情形呢?

点评

将一个顶点拉到无穷远点,则为 cos90° * 3 + cos60° * 3 = 1.5  发表于 2020-10-16 11:40
如果一个顶点塌向对面,则和=3+(-3)=0  发表于 2020-10-16 10:05
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-17 09:55:42 | 显示全部楼层
设各面法向量分别为$(x_i, y_i, z_i)$
于是我们要在约束$x_i^2+y_i^2+z_i^2=1$的条件下求$\sum_{1\le i\lt j\le 4} (x_ix_j + y_iy_j+z_iz_j)$的最小值
于是要求\(\begin{cases}\sum_{1\le j\le 4} x_j -(2\lambda_i+1) x_i =0\\\sum_{1\le j\le 4} y_j -(2\lambda_i+1) y_i =0\\\sum_{1\le j\le 4} z_j -(2\lambda_i+1) z_i =0 \end{cases} \),
于是得出取极值时,如果$2\lambda_i+1$都不等于0,于是得出所有向量同向或反向。而如果某个$2\lambda_i+1$为0,得出$\sum_{1\le j\le 4} x_j=\sum_{1\le j\le 4} y_j=\sum_{1\le j\le 4} z_j=0$,而如果这时某个$2\lambda_i+1$不为0,会要求$x_i=y_i=z_i=0$矛盾,所以只能所有的$2\lambda_i+1$为0.对应四个单位向量重心在原点,应该就是正四面体,这时极值为$-2$
四个法向全部同向是不存在的(对应极值为6)。
三个同向,一个反向,极值为0.
两个同向,两个反向,极值为-2.
所以对应的二面角余弦之和最大值为2,只有两种情况取到
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