叉积的定义到底是一个人为假设的模型？还是有现实依据的结论？

wufaxian

比如说1+1=2。那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起，确实就是2个小木棍（十进制下）。那么乘法。就是加法的一种简化或延伸。同样容易证明。但是向量的叉乘呢？AxB=|A||B||sinθ|*n，n是正交于AB平面的基向量。难道这是一种马走日象走田的认为规定么？而且你用定义是无法计算叉积的。因为在不知道计算结果以前你很难求出n是多少。

当我看到下图的时候，我以为已经看到了叉积定义成立的现实依据了。但是其中有个逻辑断层！
看到了乘法分配律一切豁然开朗了。你按照这个一步一步算下去。最后用行列式求出一个向量C，然后你在三维坐标中描点，发现他确实垂直于AB张成的平面。或者你用点乘A，或点乘B也可以验证垂直。而且你求C的模。也确实等于|A||B|sinθ。这就如同那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起，确实就是2个小木棍一样可靠！！！

但是其中有一点。就是截图中的红线的部分。将分配律结果中凡是包含ii，jj，kk的都看作零。我想是因为ii夹角θ的正弦值等于0。所以这三项结果为0。凡是jk，ij，，ki的都变成了i，k，j。但是这两部分实际上又使用了叉积的定义。类似于马走日象走田。如果我不承认马走日象走田（国际象棋就不是马走日象走田），那么ii，jj，kk的都不能看作零了。jk，ij，，ki的都变成了i，k，j。那整个结果也被推翻了。


------------所以应该怎么理解叉积呢？或者说从最基础的知识证明叉积定义是成立的？
------------叉积到底是属于线性代数的范畴？还是属于微积分的范畴？我现在是从一本微积分的书上学到的叉积。但是反过来在很多线性代数的书目录中都找不到叉积。有些线性代数的书中是有叉积的。所以叉积不必定属于线性代数的内容？

zeroieme

看物理书

wufaxian

zeroieme 发表于 2020-10-17 17:29
看物理书

有具体书名推荐么?

zeroieme

wufaxian 发表于 2020-10-17 17:44
有具体书名推荐么?

力学、电磁学都有向量应用

kastin

从线性代数角度来看，看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关，点乘跟对称张量参与的张量积有关。上面基矢量的叉乘定义就是按照反对称张量性质来给出的。

如果不从代数角度来看，矢量或向量是有方向的，其乘积该如何定义为好？类比标量中乘法无非是加法的延伸。

首先，向量有平行四边形法则表示加法，向量乘法自然可以表示为向量不同方向加法的某种延伸：平行四边形的面积。于是矢量积定义就出来了。而面积这个东西永远为正，故需要确定一个方向，自然就是平行四边形的法线方向（用左手或右手定则都可以），因为它有唯一性。

其次，同方向向量加法与标量类似，那么不同方向也可以按照类似方法投影到同一方向做乘法，这就是标量积的定义。只不过这时的乘法得到的结果是数量，而不是面积之类，所以没有方向的含义（投影方向可以是乘积双方二者之一，结果不存在方向的意义）。

以上是不需要任何高阶知识的。

实际上，这可以从乘法的另一方面——除法来理解。为什么矢量没有公认的除法运算？是因为一般的矢量空间中乘法没有逆元，即“点积和叉积意义下的矢量乘法并不能间接的导出除法运算，从而不容许除法运算”。但Clifford代数（综合了内积和外积两种运算，是复数代数、四元数代数和外代数的推广，在几何和物理中有应用广泛）中非零元有逆元，可以定义除法（但它里面的乘法就复杂了）。这就说明，代数中乘法的定义，要么根据代数需要，让其有良好的代数性质而不管其直观的物理或几何意义；要么有直观的物理或几何意义，但代数性质可能不会太完美（例如四元数可以很方便表示旋转，坐标系变换之类，但乘法的很多好的性质就没了）。

wufaxian

kastin 发表于 2020-10-18 12:54
从线性代数角度来看，看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关，点乘跟对称张量参与 ...

非常感谢kastin耐心详细的回答。虽然不能完全理解。但还是有收获和启发。并引出若干问题：

第一段问题：
“从线性代数角度来看，看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关，点乘跟对称张量参与的张量积有关。上面基矢量的叉乘定义就是按照反对称张量性质来给出的。”
--------------------你提到的这些知识属于入门级线性代数的内容？还是高阶线性代数的内容呢？如果是高级线性代数的内容，我就先记住结论不过多纠缠于概念本身了。我备了三本书准备未来学习。但是不知道三本书的知识深度是否可以触及到以上内容；分别是：
Sheldon Axler的《线性代数应该这样学》https://book.douban.com/subject/3715623/Gilbert Strang的《线性代数(第5版)》https://book.douban.com/subject/34820335/
莱（Lay D.C.）《线性代数及其应用》https://book.douban.com/subject/1425950/
如果你知道更好的课本包括有关张量的内容，还请不吝赐教



第二段问题：
“平行四边形的面积。于是矢量积定义就出来了。而面积这个东西永远为正，故需要确定一个方向，自然就是平行四边形的法线方向（用左手或右手定则都可以），因为它有唯一性。”
   ---------------这部分有点想不通。|A||B||sinθ| 等于平行四边形面积，是没有问题的。问题有二：
1、后面乘以一个表示方向的基向量。这个没有给出原因。包括右手法则。我给出一个左手法则也可以表方向。且为什么是法线呢？
2、问题1当然完全可以用原帖截图中的计算过程给出完美答案。因为其计算结果得到一个向量，向量的模确实等于|A||B||sinθ|，且方向是法线方向，且符合右手定则。但关键就是其计算过程中还是用到了叉乘的定义。ii，jj，kk的都看作零，凡是jk，ij，，ki的都变成了i，k，j。相当于循环论证了。如果这部分能绕过定义。那么一切就说通了。


以上是头脑当中真实的困惑。老师如果觉得难以在论坛解释。推荐相关书籍即可：）