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[求助] 叉积的定义到底是一个人为假设的模型?还是有现实依据的结论?

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发表于 2020-10-17 16:53:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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比如说1+1=2。那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起,确实就是2个小木棍(十进制下)。那么乘法。就是加法的一种简化或延伸。同样容易证明。但是向量的叉乘呢?AxB=|A||B||sinθ|*n,n是正交于AB平面的基向量。难道这是一种马走日象走田的认为规定么?而且你用定义是无法计算叉积的。因为在不知道计算结果以前你很难求出n是多少。

当我看到下图的时候,我以为已经看到了叉积定义成立的现实依据了。但是其中有个逻辑断层! 公式1.jpg
看到了乘法分配律一切豁然开朗了。你按照这个一步一步算下去。最后用行列式求出一个向量C,然后你在三维坐标中描点,发现他确实垂直于AB张成的平面。或者你用点乘A,或点乘B也可以验证垂直。而且你求C的模。也确实等于|A||B|sinθ。这就如同那么你把一个小木棍和另一个小木棍放一起,确实就是2个小木棍一样可靠!!!

但是其中有一点。就是截图中的红线的部分。将分配律结果中凡是包含ii,jj,kk的都看作零。我想是因为ii夹角θ的正弦值等于0。所以这三项结果为0。凡是jk,ij,,ki的都变成了i,k,j。但是这两部分实际上又使用了叉积的定义。类似于马走日象走田。如果我不承认马走日象走田(国际象棋就不是马走日象走田),那么ii,jj,kk的都不能看作零了。jk,ij,,ki的都变成了i,k,j。那整个结果也被推翻了。


------------所以应该怎么理解叉积呢?或者说从最基础的知识证明叉积定义是成立的?
------------叉积到底是属于线性代数的范畴?还是属于微积分的范畴?我现在是从一本微积分的书上学到的叉积。但是反过来在很多线性代数的书目录中都找不到叉积。有些线性代数的书中是有叉积的。所以叉积不必定属于线性代数的内容?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-17 17:44:50 | 显示全部楼层

有具体书名推荐么?
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发表于 2020-10-18 00:02:01 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2020-10-17 17:44
有具体书名推荐么?

力学、电磁学都有向量应用
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发表于 2020-10-18 12:54:33 | 显示全部楼层
从线性代数角度来看,看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关,点乘跟对称张量参与的张量积有关。上面基矢量的叉乘定义就是按照反对称张量性质来给出的。

如果不从代数角度来看,矢量或向量是有方向的,其乘积该如何定义为好?类比标量中乘法无非是加法的延伸。

首先,向量有平行四边形法则表示加法,向量乘法自然可以表示为向量不同方向加法的某种延伸:平行四边形的面积。于是矢量积定义就出来了。而面积这个东西永远为正,故需要确定一个方向,自然就是平行四边形的法线方向(用左手或右手定则都可以),因为它有唯一性。

其次,同方向向量加法与标量类似,那么不同方向也可以按照类似方法投影到同一方向做乘法,这就是标量积的定义。只不过这时的乘法得到的结果是数量,而不是面积之类,所以没有方向的含义(投影方向可以是乘积双方二者之一,结果不存在方向的意义)。

以上是不需要任何高阶知识的。

实际上,这可以从乘法的另一方面——除法来理解。为什么矢量没有公认的除法运算?是因为一般的矢量空间中乘法没有逆元,即“点积和叉积意义下的矢量乘法并不能间接的导出除法运算,从而不容许除法运算”。但Clifford代数(综合了内积和外积两种运算,是复数代数、四元数代数和外代数的推广,在几何和物理中有应用广泛)中非零元有逆元,可以定义除法(但它里面的乘法就复杂了)。这就说明,代数中乘法的定义,要么根据代数需要,让其有良好的代数性质而不管其直观的物理或几何意义;要么有直观的物理或几何意义,但代数性质可能不会太完美(例如四元数可以很方便表示旋转,坐标系变换之类,但乘法的很多好的性质就没了)。
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 楼主| 发表于 2020-10-18 17:51:17 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2020-10-18 12:54
从线性代数角度来看,看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关,点乘跟对称张量参与 ...


非常感谢kastin耐心详细的回答。虽然不能完全理解。但还是有收获和启发。并引出若干问题:

第一段问题:
“从线性代数角度来看,看一下张量相关书籍就明白了。叉乘跟反对称张量参与的张量积有关,点乘跟对称张量参与的张量积有关。上面基矢量的叉乘定义就是按照反对称张量性质来给出的。”
--------------------你提到的这些知识属于入门级线性代数的内容?还是高阶线性代数的内容呢?如果是高级线性代数的内容,我就先记住结论不过多纠缠于概念本身了。我备了三本书准备未来学习。但是不知道三本书的知识深度是否可以触及到以上内容;分别是:
Sheldon Axler的《线性代数应该这样学》https://book.douban.com/subject/3715623/Gilbert Strang的《线性代数(第5版)》https://book.douban.com/subject/34820335/
莱(Lay D.C.)《线性代数及其应用》https://book.douban.com/subject/1425950/
如果你知道更好的课本包括有关张量的内容,还请不吝赐教



第二段问题:
“平行四边形的面积。于是矢量积定义就出来了。而面积这个东西永远为正,故需要确定一个方向,自然就是平行四边形的法线方向(用左手或右手定则都可以),因为它有唯一性。”
   ---------------这部分有点想不通。|A||B||sinθ| 等于平行四边形面积,是没有问题的。问题有二:
1、后面乘以一个表示方向的基向量。这个没有给出原因。包括右手法则。我给出一个左手法则也可以表方向。且为什么是法线呢?
2、问题1当然完全可以用原帖截图中的计算过程给出完美答案。因为其计算结果得到一个向量,向量的模确实等于|A||B||sinθ|,且方向是法线方向,且符合右手定则。但关键就是其计算过程中还是用到了叉乘的定义。ii,jj,kk的都看作零,凡是jk,ij,,ki的都变成了i,k,j。相当于循环论证了。如果这部分能绕过定义。那么一切就说通了。


以上是头脑当中真实的困惑。老师如果觉得难以在论坛解释。推荐相关书籍即可:)


点评

张量是多重线性代数,这是线性代数的一个分支,通常的线性代数教材里不会涉及。涉及到微分几何(比如广义相对论)、连续介质力学(弹性力学、流体力学之类)会用,所以这个内容并不太普及。  发表于 2020-10-18 22:09
只能是法线方向(如果是其他方向就会出现二义性,也就是你站在不同方向去看,结果不同),左手右手定则都可以,但要统一。通常我们的坐标系都是习惯画成右手系,所以为了一致,按右手规则来,不然会多个负号。  发表于 2020-10-18 21:52
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