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[求助] 怎么证明单位球内接正四面体的各棱长平方和最大

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发表于 2020-10-18 20:47:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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即是单位球内接任意四面体的各棱长平方和小于等于单位球内接正四面体的各棱长平方和
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 10:17:23 | 显示全部楼层
解析几何,拉格朗日乘子法吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 10:17:46 | 显示全部楼层
固定其中一个顶点,应该能解出无穷个解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 11:01:46 | 显示全部楼层
单位球内接任意四面体的各棱长平方和 \(= \left(\frac{4}{\sqrt{6}}\right)^2 * 6 = 16\),

若将其一组对边的中点强行拉至球心,则各棱长平方和 \(= 2^2 * 2 + (\sqrt2)^2 * 4 = 16\),

怎么证明正四面体的六个二面角余弦之和最大 惊人地类似,它们又再次相等,说明了什么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 11:08:32 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2020-10-20 11:01
单位球内接任意四面体的各棱长平方和 \(= \left(\frac{4}{\sqrt{6}}\right)^2 * 6 = 16\),

若将其一组 ...

以球心为原点,设四个顶点对应的向量分别为a,b,c,d.
于是六边平方和等于
$(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2=6-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd$
其中ab,bc等分别正好等于两向量夹角的余弦值。
所以挺类似的。这个题目是四个顶点向量两两夹角的余弦值的极值,那个问题是四个面法线向量两两夹角的极值问题。而两种这些向量的选择范围基本上相同。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-20 11:44:16 | 显示全部楼层
楼主的问题应该说明是否猜想,如果是猜想就有可能不成立了,直接要证明如果命题不成立就会浪费的时间的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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