怎么证明三面角的两个面角正弦值之和大于第三个面角的正弦值？

lihpb00

三面角O-ABC中，怎么证明sin∠AOB+sin∠BOC>sin∠AOC

hejoseph

这还是你的猜想吧？还是那句，如果是猜想，最好写是猜想，免得浪费别人的时间。但这个恰好是成立的。
设 $\angle AOB=\alpha$，$\angle AOC=\beta$，$\angle BOC=\gamma$，则
\[
0<\gamma<\alpha+\beta<2\pi-\gamma<2\pi，0<|\alpha-\beta|<\gamma<\pi，
\]
所以
\[
\sin\frac{\alpha+\beta}{2}>\sin\frac{\gamma}{2}>0，\cos\frac{\alpha-\beta}{2}>\cos\frac{\gamma}{2}>0，
\]
由此得
\[
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}>2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\sin\gamma。
\]

markfang2050

连个图都没。

hujunhua

放在单位球面上方便一些。O为球心，ABC为球面三角形。那3个角就是球面三角形的边长。

取`A,B,C`的对径点`A',B',C'`, 用`A^*`表示`A`或者`A'`（二选一）,`B^*,C^*`亦然。
那么必定存在一个三边长皆不大于`\frac{\pi}2`的 球面三角形`A^*B^*C^*`
于是可以作一个边长是三角形`A^*B^*C^*`双倍的球面三角形`A_2B_2C_2`
因为球面三角形`A^*B^*C^*`的3边长为`α`或`(\pi-α)`,`β`或`(\pi-β)`,`γ`或`(\pi-γ)`
所以球面三角形`A_2B_2C_2`的边长为`2α`或`2(\pi-α)`,`2β`或`2(\pi-β)`,`2γ`或`2(\pi-γ)`
连结球弦可得直边三角形`A_2B_2C_2`，其三边长为`2\sinα,2\sinβ,2\sinγ`,由三角不等式得。。。。。。