一道极限题目

282842712474 · 发表于 2009-9-12 11:45:19

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$\lim_{x->1} {nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$

其中n是大于1的自然数。我想知道能否直接通过这道式子来求出极限（不将其展开为级数求和）？

mathe · 发表于 2009-9-12 11:50:54

可以使用罗比特法则,对分子分母同时两次求导

282842712474 · 发表于 2009-9-12 14:54:42

还有其他的方法吗？能不能表示成其他形式后，将x=1代入？

wayne · 发表于 2009-9-12 18:26:35

本帖最后由 wayne 于 2009-9-12 18:28 编辑

可以这样来做
$\lim_{x->1} {nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$
=$\lim_{x->1} {nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}/{(x-1)^2}$
=$\lim_{x->1}(\frac{-1+x^{1+n}}{-1+x})'$
=$\lim_{x->1}(1+x+x^2+...+x^n)'$
=$1+2+3+.....+n$
=$\frac{1}{2} n (1+n)$

mathe · 发表于 2009-9-12 18:48:28

还是直接求导方便.
这样的计算过程化简为烦了

wayne · 发表于 2009-9-12 22:51:22

还是直接求导方便.
这样的计算过程化简为烦了
mathe 发表于 2009-9-12 18:48

的确

我是在迎合楼主的"过分苛刻"的要求嘛

wayne · 发表于 2009-9-13 10:10:53

楼主的用户名可是$\sqrt(2)/5$?,

gxqcn · 发表于 2009-9-14 07:53:39

应该是 $2\sqrt2$ 吧，
不过楼上说的更好，直接右移了一位，取小数点后的数字。

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