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[讨论] 如下不定方程有通解公式吗

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发表于 2020-12-10 09:39:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$u^2+v^2-x^2-y^2=2n$,  n已知
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-10 16:48:39 | 显示全部楼层
感觉实数范围内应该能列出来,整数反而比较麻烦
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-10 18:02:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-12-10 18:12 编辑

(n+1)^2+0^2-n^2-1^2=2n
1^2+n^2-(n-1)^2-0^2=2n
不知算不算是通解?

点评

这不是通解,是特殊解  发表于 2020-12-10 23:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-11 00:27:46 | 显示全部楼层
$(2n+7)^2+(n+4)^2-(2n+8)^2-(n+1)^2=2n$
$(5n+7)^2+(8n+6)^2-(8n+9)^2-(5n+2)^2=2n$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-11 07:34:22 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-12-10 18:02
(n+1)^2+0^2-n^2-1^2=2n
1^2+n^2-(n-1)^2-0^2=2n
不知算不算是通解?

能以简单的方式给出所有解的公式应该是不存在的。
1)让 x=0,y =0,求 u^2+v^2=n 应该就没有简单公式可求。
2)让 y=0,求 n=u^2+v^2-x^2, 且假设 u, v, x 都小于等于根号 n,是否对于充分大的 n 都有解,这是 Erdos 猜想,据说至今没有证明。

如果有一种简单的公式能给出所有解的话,我认为上述问题都不是问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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